§ 68. Распространение звука в трубах с податливыми стенками

До сих пор мы считали боковые стенки трубы абсолютно жесткими. Теперь выясним, как сказывается на распространении звука податливость стенок: найдем влияние податливости стенок на скорость распространения звука.

Будем считать, что поперечник трубы мал по сравнению с длиной распространяющейся в ней волны; тогда по-прежнему можно считать движение частиц в трубе одномерным. Но изменение длины столба среды в трубе будет по-другому зависеть от давления, поскольку давление вызовет не только сжатие среды, но и изменение сечения трубы, что для волны, бегущей в трубе, равносильно изменению сжимаемости среды.

В самом деле, относительное укорочение столба среды в трубе, обусловленное сжимаемостью самой среды, равно где сжимаемость и скорость звука для самой среды. Увеличение сечения трубы под действием давления вызовет дополнительное укорочение столба, равное где площадь сечения трубы и приращение площади сечения. Это укорочение имело бы место и для несжимаемой среды. Результирующее укорочение равно Следовательно, эффективная сжимаемость среды равна

В среде, обладающей такой сжимаемостью и помещенной в трубу с абсолютно жесткими стенками, волны будут распространяться так же, как в данной среде, помещенной в трубу с податливыми стенками. Таким образом, скорость звука в трубе с податливыми стенками равна

Например, для круглой трубы радиуса а имеем где и — радиальное смещение стенок трубы, крторое предполагаем малым по сравнению с радиусом трубы. Это дает для круглой трубы

В дальнейшем будем заниматься только круглыми трубами.

Обозначим коэффициент пропорциональности между давлением и радиальным смещением через это — обобщенный коэффициент упругости стенок. Для обычной упругой реакции стенок и постоянно. Скорость звука выразится через этот коэффициент формулой

Мы видим, что при упругой реакции стенок скорость волны в трубе меньше скорости звука в неограниченной среде и дисперсия скорости отсутствует. Реакция упругая, если периметр трубы много меньше длины волны звука в материале трубы. Для металлических узких труб, заполненных газом или жидкостью (например, для водопроводных труб), это условие всегда выполнено.

Коэффициент упругости круглой трубы легко найти для случая, когда толщина ее стенки мала по сравнению с радиусом.

Изменение радиуса, вызываемое данным давлением, легко найти из условия равновесия половины стенки трубы (рис. 68.1) под действием давления и упругого напряжения в стенке. Согласно показанной на рисунке схеме сил

где Е — модуль упругости стенки трубы. Отсюда находим коэффициент упругости трубы:

Скорость волн найдется согласно формуле

Рис. 68.1. Внутреннее давление в трубе уравновешивается напряжениями в стенке трубы.

Например, скорость волн в воде, заполняющей стальную трубу полуметрового диаметра с толщиной стенки 2,5 см, примерно на 10% меньше, чем скорость звука в неограниченной водной среде.

Изменение радиуса трубы под действием давления звуковой волны внутри нее создает вынужденную изгибную волну в стенке, бегущую вдоль оси трубы. Мы пренебрегали возникающими в изгибной волне перерезывающими силами, действующими между сечениями трубы, ввиду малости этих сил по сравнению с учтенными в расчете силами, растяжения, действующими в каждом сечении.

В трубе с упругими стенками могла бы распространяться волна даже при полной несжимаемости среды. В самом деле, в этом случае формула (68.3) дает

Практически эта формула применима и при конечной сжимаемости, при достаточно малом коэффициенте упругости стенок. В самом деле, если выполнено соотношение то под корнем в знаменателе (68.3) можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым, т. е. пренебречь сжимаемостью среды, что и приведет снова к (68.5). В этом случае эффективная сжимаемость практически целиком создается податливостью стенок трубы. С этим случаем встречаемся при распространении зрука в воде, заполняющей резиновую трубку, а также при распространении пульсовой волны в артерии (случай, в связи с которым и была впервые рассмотрена задача о влиянии податливости стенок трубы на скорость волны в трубе).

Если реакция стенок трубы не чисто упругая, как в разобранном выше случае, то изменение сечения трубы зависит не только от величины давления, но и от формы волны. Тогда понятие постоянной эффективной сжимаемости для любой волны ввести нельзя и оно будет годиться только для гармонических процессов. Эффективная сжимаемость будет зависеть от частоты, сможет менять знак, и появится дисперсия скорости звука: без изменения формы в такой трубе смогут распространяться только синусоидальные волны.

Переходя к этому более общему случаю, предположим, что стенки можно охарактеризовать их проводимостью которую будем считать чисто мнимой (отсутствие поглощения на стенках). Так как радиальная скорость частиц в круглой трубе есть — то Уравнение (68.1) можно переписать в виде

Умножая на , получим квадрат волнового числа волны в трубе:

Во всех проведенных расчетах мы полагали, что движение среды одномерное, т. е. пренебрегали радиальными составляющими скоростей частиц по сравнению с их осевыми составляющими. Легко указать критерий допустимости такого предположения. В самом деле, радиальная компонента найдется по проводимости стенок трубы: Осевая же компонента получится из эффективного сопротивления волны в трубе по формуле т. е., согласно (68.6),

Очевидно, условие будет выполнено, если

Из (68.6) следует, что боковые стенки с проводимостью упругого типа понижают фазовую скорость, а стенки с проводимостью массового типа повышают фазовую скорость волны по сравнению со скоростью в неограниченной среде. Если стенка осуществлена в виде обобщенной пружины с коэффициентом упругости к, т. е. то приходим к уже рассмотренному выше случаю бездисперсионного распространения со скоростью (68.3). Если стенки осуществлены в виде массы, распределенной с поверхностной плотностью то проводимость есть и дисперсионное уравнение (68.6) примет вид

Распространение в такой трубе возможно не при всех частотах: ниже критической частоты сокр имеем и волновое число получается чисто мнимым, т. е. волна неоднородная, экспоненциально меняющаяся вдоль волновода, и колебание в ней происходит синфазно во всех точках. При частотах выше имеем и волна распространяющаяся, причем имеется дисперсия: фазовая скорость оказывается равной

В критической точке фазовая скорость бесконечна и затем монотонно уменьшается по мере увеличения частоты, стремясь к скорости звука в неограниченной среде Групповую скорость найдем из (68.8), дифференцируя уравнение почленно:

Групповая скорость равна нулю при критической частоте и при повышении частоты монотонно растет, стремясь к Произведение фазовой и групповой скорости остается одинаковым для всех частот и равно квадрату скорости звука в неограниченной среде. Соотношение такого типа характерно и для многих других случаев дисперсионного распространения звука в ограниченных средах.

Если скорость волн в материале трубы меньше скорости звука в среде, заполняющей трубу (так будет, например, для резиновой трубки, заполненной водой), то в диапазоне частот, при которых трубу можно еще считать узкой, будет лежать радиальный резонанс трубы, при котором проводимость стенок обращается в бесконечность. При частотах ниже резонансной проводимость будет иметь характер упругости, а при частотах выше резонансных — характер массы. Соответственно усложнится и дисперсионное поведение трубы. В самом деле, рассмотрим радиальные колебания трубы под действием гармонического внутреннего давления Боковые стенки трубы можно считать колебательной системой, в которой элементом массы является масса самой стенки, а упругая сила создается растяжением оболочки при изменении ее радиуса. Для радиального колебания можно написать уравнение движения стенки в виде

где коэффициент упругости — дается формулой (68.4). Из (68.9) следует, что проводимость стенки трубы равна

где есть собственная частота радиально-симметричных колебаний пустой трубы. Дисперсионное уравнение (68.6)

можно записать в данном случае в виде

где собственная частота радиально-симметричных колебаний трубы в случае, если бы стенка была лишена упругости (при сохранении массы), а собственная частота таких же колебаний трубы в случае, если бы среда была лишена массы (при сохранении упругости).

Рис. 68.2. Дисперсионная кривая узкой трубы с упругими стенками, заполненной жидкостью. Заштрихована область запирания (отрицательное

Диапазон частот между «полоса запирания». В этой полосе мнимое и волна не распространяется, а испытывает экспоненциальное затухание. На рис. 68.2 приведена для случая дисперсионная кривая трубы в виде зависимости от

Условие (68.7) принимает в рассматриваемом случае вид

По физическому смыслу частота это собственная частота радиально-симметричных колебаний трубы при условии, что вся масса заполняющей ее жидкости расположена на стенке.