§ 42. Правильное отражение. Отражение гармонических волн

При неидеальной границе отраженная волна может иметь другой профиль, чем падающая, т. е. функции могут различаться. Если различие состоит только в постоянном множителе, так что для препятствия, расположенного в точке

то отражение называют правильным, а величину V — коэффициентом отражения. Точно так же, если препятствие образовано другой средой и профиль прошедшей волны отличается от профиля

падающей только постоянным множителем, так что

то прохождение также называют правильным, а величину коэффициентом прохождения. При неправильном отражении понятия коэффициентов отражения и прохождения неприменимы.

Если препятствие расположено не в начале координат, а в точке то правильно отраженная волна есть

а правильно прошедшая

Величина есть добавочное время пробега отраженной волны по сравнению с отражением от границы, расположенной в точке Для прошедшей волны соответственная величина равна

Для гармонической падающей волны отраженная прошедшая в точке волны запишутся в виде Для препятствия, расположенного в точке соответственные формулы имеют вид

Свободная граница и жесткая стенка дают, как мы видели, правильное отражение для волн любой формы. Коэффициент отражения для свободной границы равен —1, а для жесткой стенки

Если отражение правильное, то можно ввести понятие коэффициента отражения и коэффициента прохождения и для скорости частиц, совершенно аналогично тому, как выше он был введен для давления. Коэффициент отражения для скорости частиц равен по модулю и противоположен по знаку коэффициенту отражения для давления.

Замечательным свойством монохроматических плоских волн в их комплексном представлении является то, что их отражение от линейных плоских препятствий всегда правильное. Препятствие называют линейным, если для него отражение суммы любых двух волн равно сумме отражений для этих двух волн в отдельности и отражение любой волны, умноженной на любую постоянную, равно отражению данной волны, умноженному на ту же постоянную.

Выведем это свойство гармонических волн. Пусть падающая волна при отражении превращается в некоторую волну Тогда, в силу линейности препятствия, падающая волна вида должна превратиться при отражении в волну а падающая волна вида превратится в отраженную вида Но для гармонической волны Значит, откуда находим, что временная зависимость отраженной волны действительно имеет тот же вид, что и в падающей волне, т. е. отраженная волна ддлжна иметь вид где коэффициент V определяется свойствами данного препятствия и, вообще, частотой волны.

Форма гармонической волны сохраняется при отражении только при комплексном представлении волн. Действительно, если коэффициент отражения есть комплексное число, то, переходя к вещественной записи, найдем, что падающей волне соответствует отраженная волна вида

Таким образом, строго говоря, в этом случае не сохраняет свою форму и гармоническая волна; однако нарушение формы сводится только к сдвигу по фазе по отношению к падающей волне. При комплексном же представлении сдвиг фазы нарушением формы не считают: его относят к коэффициенту отражения и отражение считают правильным.

Рассматривать гармонические волны (в комплексном представлении) в задаче об отражении очень удобно, так как отражение всегда получается правильное. Но сама постановка задачи об отражении гармонических волн отличается от случая падения волны произвольной формы, например ограниченного импульса. В самом деле, пока ограниченный импульс не достиг препятствия, он бежит так, как если бы препятствия не было. Когда импульс достигнет препятствия, вблизи границы возникнет некоторое сложное звуковое поле, зависящее от граничных условий; это — процесс отражения. Через некоторое время падающая волна исчезнет и перед препятствием останется только одна бегущая от препятствия отраженная волна. Таким образом, до отражения имеется только падающая волна, а после отражения — только отраженная. Падающую волну можно считать причиной, а отраженную — следствием в таком же смысле, как камень, падающий в воду» можно считать причиной всплеска.

Для гармонической волны положение другое: нет моментов, когда существовала бы только падающая или только отраженная волна, — гармонический процесс не имеет ни начала, ни конца и «принцип причинности» не работает. Задача об отражении формулируется для этого случая так: две гармонические волны, одна —

бегущая к препятствию, а другая — от него, совместно удовлетворяют данному граничному условию. Как, зная свойства препятствия и одну из этих волн («падающую»), найти вторую («отраженную»)?

В этой постановке задачи за «падающую» можно принять любую из этих волн; вторая будет «отраженной». Так как по времени волны не разделены, то нет и оснований считать одну волну причиной другой. Факт же бега фазы по направлению к препятствию или от него имеет только внешнее сходство с фактом бега импульса к препятствию или от него: импульс переносит энергию, а гармоническая волна — нет. Физический смысл можно приписать только задаче об отражении ограниченного импульса, так как все реальные процессы имеют начало. Задача с гармонической падающей волной — идеализация в такой же мере, как и задачи с гармоническими волнами, распространяющимися в неограниченной среде. В обоих случаях идеализация полезна, пока достаточно длинные цуги — «отрезки синусоид» — ведут себя подобно гармонической волне в течение достаточно долгого времени.

Рассмотрение ограниченного цуга позволяет все же выяснить, какая волна является падающей, и для гармонических волн: в качестве падающей следует взять ту волну, для которой групповая скорость направлена к препятствию. Тогда в реальной постановке задачи, где в качестве падающей волны взят конечной длины, придем к той же картине, что и для ограниченного импульса. При этом внутри падающего цуга фаза может бежать либо к препятствию (положительная фазовая скорость), либо от препятствия (отрицательная фазовая скорость). Поэтому для гармонических волн за падающую волну будем выбирать ту из волн, для которой групповая скорость направлена к препятствию. В исключительных случаях отрицательной фазовой скорости падающей волной следует считать ту, фаза которой бежит от препятствия, а отраженной — ту, фаза которой бежит к препятствию. В дальнейшем будем считать, что фазовая и групповая скорости совпадают по направлению.