§ 110. Малое препятствие, отличающееся от среды только сжимаемостью

Пусть на малое препятствие объема с той же плотностью, что и среда, но со сжимаемостью Р, отличной от сжимаемости среды, падает волна частоты . Тогда степень сжатия препятствия отличается от степени сжатия, которая была бы у элемента среды, вытесненного препятствием.

Так как препятствие мало, то можно считать, что оно находится в однородном поле давления; поэтому приращение его объема равно где давление в первичной волне в месте нахождения препятствия.

Соответственное приращение для элемента среды в объеме препятствия составило бы Таким образом, препятствие создает дополнительное приращение объема, равное а значит, действует подобно пульсирующему телу с объемной скоростью Излучение такого монопольного источника совпадает с полем, рассеянным препятствием.

С другой стороны, так как плотности препятствия и среды равны, то в целом препятствие движется вместе с окружающей средой, т. е. покоится относительно окружающей среды; поэтому рассеяние дипольного типа отсутствует. Мы считали, что сжатие тела происходит в статическом режиме, т. е. синфазно с давлением в первичной волне. Мы увидим, однако, что, несмотря на малость тела по сравнению с длиной волны как в среде, так и в материале препятствия, иногда деформация препятствия оказывается нестатической. Тогда придется изменить расчет (см. §§ 112, 113). В этом параграфе мы считаем, что эти исключительные условия не имеют места.

Согласно (87,4) рассеянное поле равно

где расстояние от рассеивателя до точки наблюдения. Расстояние должно быть большим по сравнению с размерами рассеивателя. Рассеиваемую данным препятствием мощность найдем по формуле (90.4)

Эта мощность оказывается пропорциональной четвертой степени волнового числа — рассеяние быстро растет с увеличением частоты Форма и ориентировка тела относительно первичной волны оказываются, в отличие от рассеяния на большом препятствии, несущественными: рассеяние определится только давлением первичной волны, объемом тела и различием в сжимаемости тела и среды. В стоячей волне рассеяние зависит и от положения препятствия: в пучности давления рассеяние максимально, в узлах отсутствует, а в промежуточных точках принимает промежуточные значения. Мощность рассеянного излучения пропорциональна квадрату амплитуды волны в данной точке.

Эффективность, с которой данное препятствие рассеивает падающие на него волны, удобно характеризовать, сравнивая рассеиваемую мощность с плотностью потока мощности в бегущей первичной волне. Отношение этих двух величин, имеющее размерность площади, называют сечением рассеяния данного препятствия. Как мы видели, для тел, больших по сравнению с длиной волны, сечение рассеяния равно двойной «миделевой» площади сечения тела, перпендикулярного к направлению падения волны. В рассматриваемом случае малого препятствия получим

Например, для сферы радиуса

Для несжимаемой сферы

Сечение рассеяния оказывается очень малым по сравнению с поперечным сечением самой сферы: их отношение есть малая величина Соотношение такого же порядка получилось бы и для тела другой формы и при сжимаемости, не равной нулю.

Любопытно отметить, что, например, для капли тумана диаметром 25 микрон сечение рассеяния при частоте звука 100 гц равно примерно одному барну величине, характерной для сечений рассеяния при ядерных реакциях.

С другой стороны, мы видели, что при длине волны, малой по сравнению с размерами тела, сечение рассеяния имеет порядок площади сечения тела. Зависимость сечения рассеяния от длины волны обусловлена волновой природой звука: для частиц сечение рассеяния данного тела всегда совпадает с площадью его поперечного сечения. Можно привести аналогии и для других волновых движений. Так, торчащая из воды свая не рассеивает морские волны, которые как бы огибают сваю с обеих сторон. Но позади длинного волнолома вода спокойна — волны рассеиваются эффективно, так как волнолом велик по сравнению с длиной волны.

Другой пример: в лесу видно на очень небольшое расстояние — для малой длины волны света сечение рассеяния листа равно двойной его площади. Но звук в лесу слышен далеко: сечение рассеяния для относительно длинной звуковой волны — это малая доля площади листа. Еще пример: в густом тумане видно только «на расстояние вытянутой руки», но слышно так же далеко, как и в ясную погоду. Поэтому-то до изобретения радиолокации устройства для создания мощных звуковых сигналов (сирены и т. п.) были необходимой частью маячного оборудования и сохраняют свое значение еще и теперь. Да и радиолокационным волнам туман не оказывает большой помехи именно потому, что длина волны велика по сравнению с каплями тумана.

В последних замечаниях мы стали делать заключения о рассеянии звука многими малыми препятствиями, чем еще по существу не занимались. Частотная зависимость поля, рассеиваемого многими препятствиями, — та же, что и для одного препятствия. Покажем, что при хаотическом расположении препятствий суммарная рассеянная мощность равна мощности, рассеиваемой одиночным препятствием, умноженной на общее число препятствий. Здесь следует различать два случая. Если расстояния между соседними препятствиями велики по сравнению с длиной волны, то, как видно из § 97, мощности, рассеиваемые отдельными препятствиями, которые мы рассматриваем как «вторичные излучатели», просто складываются.

В случае же «микронеоднородных» сред (см. § 19) — сред, содержащих множество препятствий, расположенных на расстояниях, малых по сравнению с длиной волны, — картина рассеяния совершенно другая. В самом деле, если бы препятствия располагались с постоянной концентрацией, совершенно равномерно, например в виде периодической решетки, то никакого рассеяния бы не было (хотя, как мы видели в § 19, наличие препятствий скажется на скорости звука). Это ясно хотя бы из того, что боковые спектры мелкомасштабной решетки — быстро затухающие

неоднородные волны (см. § 35). В оптике подобную ситуацию описывают так: в правильном кристалле световые волны, рассеиваемые каждой молекулой в отдельности, уничтожают друг друга всюду, кроме направления первичной волны.

Нас, однако, интересует случай хаотического расположения препятствий, когда их концентрация постоянна только в среднем. Это можно представить себе как наложение на равномерное распределение со средней концентрацией некоторой флуктуации концентрации. Рассеяние обусловлено только этой флуктуацией.

Среднеквадратичная флуктуация числа рассеивателей в объеме, заключающем в среднем рассеивателей, равна Если этот объем мал по сравнению с длиной волны, то все «лишние» или «недостающие» рассеиватели работают синфазно и, согласно § 97, их суммарное рассеяние по мощности равно где мощность, рассеиваемая единичным препятствием. Что же касается соседних малых объемов, то, поскольку флуктуации в разных объемах независимы, мощности, рассеиваемые такими объемами, просто складываются. В итоге оказывается, что и в случае тесного (но хаотического) расположения препятствий мощность, рассеиваемая каждым из них, в среднем такая же, как и при разнесении их на большое расстояние друг от друга: в среднем каждое препятствие всегда рассеивает столько же, как если бы других препятствий вовсе не было.

Сказанное позволяет характеризовать микронеоднородную среду удельным сечением рассеяния, определяющим рассеивающую способность единичного объема рассеивающей среды. Именно, если в единице объема имеется рассеивателей, характеризующихся сечением рассеяния а, то единичному объему можно приписать удельное сечение рассеяния . Бегущая волна с плотностью потока мощности потеряет в виде рассеянных волн на единице длины пробега мощность

Значит,

откуда, интегрируя, найдем

— экспоненциальное убывание волны вследствие рассеяния на малых препятствиях.

Мы увидим в гл. XII, что поглощение звука также приводит к экспоненциальному закону убывания волны при ее распространении.

Поэтому, обнаружив на опыте, что волна убывает по мере распространения по экспоненциальному закону, еще нельзя решить, вызвано ли это затухание действием рассеяния или поглощением звуковой энергии.