ГЛАВА XIII. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ

§ 121. Волны конечной амплитуды

В гл. II мы показали, что точные уравнения гидродинамики и уравнение состояния нелинейны, и перешли от них к линейным уравнениям акустики, отбрасывая в уравнениях члены, содержащие квадраты и произведения величин первых порядков (давление, скорость, сжатие). Для плоских волн отбрасываемые члены относились к сохраняемым как , где число Маха. Ошибка в решениях при пренебрежении нелинейностью тем меньше, чем меньше чиейо Маха. Однако, как правило, эта ошибка накапливается, и поэтому при любом значении М звуковая волна по мере распространения постепенно искажается по сравнению с волной, изображаемой решением линейного уравнения. Для очень малых М звуковая волна может затухнуть прежде, чем произойдет заметное искажение. Но скорость накопления ошибки растет вместе с амплитудой волны, в то время как скорость затухания остается неизменной. Поэтому, начиная с некоторых значений числа Маха, искажение волны станет существенным даже при наличии поглощения. В таких случаях говорят о волне конечной амплитуды, в то время как при возможности пренебрежения нелинейными эффектами говорят о волне бесконечно малой амплитуды.

О количественной стороне нелинейного искажения можно судить по такому примеру. Для того чтобы нелинейное искажение плоской волны частоты 1000 гц составило по амплитуде от амплитуды волны, рассчитанной по линейной теории, расстояние, которое должна пробежать волна, составит: на пороге слышимости 3000 км; на уровне звука, соответствующем громкой речи с расстояния на уровне звука, соответствующем болевому порогу, (цифры даны без учета затухания). Для расходящихся волн расстояния получились бы во много раз ббльшими. При обычной интенсивности звуков речи или музыки нелинейные искажения еще очень малы: нелинейные искажения восприятия, вносимые слуховым органом человека, значительно больше, чем искажения при распространении. Но при звуках

высокой интенсивности — при звуках выстрелов, взрывов, реактивных струй, при обтекании сверхзвуковых самолетов, в мощном ультразвуке, используемом в технологических процессах, — нелинейные эффекты сильны.

При числах Маха порядка единицы или больших единицы линеаризованные уравнения совсем непригодны для описания волн. Непригодны они и в случаях, когда распространение волны, даже при небольших числах Маха, прослеживается на большом расстоянии или в течение долгого времени. Если нелинейные искажения велики, то приходится совсем отказываться от линеаризации уравнений и искать решения исходных нелинейных уравнений. При малой нелинейности можно ограничиться поправками к решению линеаризованных уравнений. Первый случай более труден и получить требуемое решение удается только в простейших случаях. Один такой случай рассмотрим в следующем параграфе. Во всей главе не будем учитывать поглощение.