§ 105. Негармонический дипольный источник

Мы видели, что поле гармонического дипольного источника можно рассматривать как производную поля гармонического монополя по координате точки, в которой расположен источник. Аналогично можно прийти к дипольному источнику негармонического типа, дифференцируя по координате источника поле негармонического монополя.

В самом деле, возьмем в качестве объемной скорости монополя величину

где момент диполя — произвольная функция времени. Поле такого монополя выразится, согласно (87.2), формулой

Дифференциал этого поля конечен: он соответствует полю двух монополей противоположных знаков, разнесенных на расстояние

Соответственное значение радиальной скорости найдется по формуле

Как и в гармоническом случае, можно показать, что поле (105.1) можно получить в результате осцилляций твердой сферы. Как легко найти из граничных условий, соответственная скорость сферы радиуса а равна

Сила, с которой такая сфера действует на среду, найдется снова аналогично случаю гармонического диполя, по формуле

При достаточно малом радиусе сферы, т. е. таком радиусе, при котором последующие члены разложений по малы по сравнению с предыдущими, формулы можно упростить, ограничиваясь только старшими членами по отношению к радиусу сферы. С точностью до членов, содержащих в степени не вышеччетвертой, скорость сферы равна

Отсюда с такой же точностью найдем

а также

В выражении для Ф первые два члена в скобках соответствуют реактивной нагрузке: их работа в среднем за достаточно большой промежуток времени равна нулю. Последний член в скобках дает активную часть нагрузки: его работа составляет излученную

энергию. Излучаемую мощность можно записать в таком виде

Если Излучение длилось в течение ограниченного времени, то полная излученная энергия равна

Главный член реактивной нагрузки обусловлен присоединенной массой: он равен массе среды в половинном объеме сферы, умноженной на ускорение сферы. Эта часть нагрузки сохранится в несжимаемой жидкости, в которой активный член и излучаемая мощность обратятся в нуль. Если пренебрегать активной нагрузкой, то придем к приближенным формулам, пригодным с большой точностью при движении малой сферы:

Можно ввести и «силу диполя» F как силу, сообщающую скорость и «замороженной» сфере, выделенной в данной среде. Как и для гармонического случая, найдем

Следовательно, звуковое поле негармонического диполя можно записать в виде

или в векторной форме: