§ 135. Тензор напряжений

Для того чтобы определить напряженное состояние среды в данной точке, достаточно задать напряжения, действующие по трем взаимно перпендикулярным плоскостям, проведенным через данную точку. Пусть эти плоскости — координатные плоскости декартовой системы координат Векторы напряжения на плоскости с нормалью обозначим через Компоненты напряжения на плоскости с нормалью обозначим через первый индекс обозначает номер оси, нормальной к координатной плоскости, на которой определяется напряжение; второй индекс — номер компоненты в данной системе координат.

Рис. 135.1. К доказательству симметричности тензора напряжений.

Например, есть компонента в направлении оси упругой силы, действующей на плоскость с нормалью отнесенная к единице площади. Для координатных плоскостей другой системы координат, проходящих через ту же точку, компоненты напряжений будут другими. Найдем связь между компонентами напряжений в одной и в другой системе.

Векторы напряжения для систем координат удовлетворяют уравнениям Проектируя эти уравнения соответственно на оси и оси получим соотношения

Отсюда видно, что напряженное состояние в точке твердого тела выражается тензором: величины преобразуются как компоненты тензора второго ранга. Тензор называют тензором напряжений.

Рассмотрим (для простоты ограничимся плоским случаем, рис. 135.1) касательные напряжения, приложенные к мысленно выделенному элементу среды Момент, создаваемый касательными напряжениями, равен и следовательно, имеет второй порядок малости по отношению к размерам элемента. Но момент инерции элемента имеет третий порядок малости относительно этих размеров. Следовательно, компоненты должны быть равны, иначе элемент получил бы бесконечное угловое ускорение. Отсюда заключаем, что всегда т. е. тензор напряжений симметричен.

Тензор напряжений, подобно тензору деформаций, также может быть приведен к главным осям. В этом случае отличны от нуля только диагональные элементы и напряжения по всем трем координатным плоскостям направлены по нормали. Если к тому же все нормальные напряжения в этой системе равны друг другу, так что

тензор напряжений в этой системе принимает вид то это свойство оказывается инвариантным и любая система координат явится главной: ни по какой плоскости нет касательных напряжений. Доказательство проводится так же, как и для тензора деформации (см. § 134).

Таким образом, в этом случае нормальное напряжение получается одним и тем же для любого направления площадки, а касательные напряжения отсутствуют. Это — такое же напряженное состояние, как в сжатой жидкости. Оно возникнет, например, при погружении твердого тела в жидкость, находящуюся под давлением.

Величина а в этом случае равна давлению, взятому с обратным знаком: (в отличие от напряжений, давление считается положительным, если сила давления направлена по внутренней нормали к площадке).