§ 60. Применение теории длинных линий к задачам о наклонном падении волн

Сравним некоторые выражения, относящиеся к отражению и прохождению плоских волн при нормальном и при наклонном падении на границу двух сред и на препятствие, характеризуемое импедансом:

Различие между столбцами можно сформулировать так: в то время как в левом столбце имеется общая зависимость от для всех трех волн, т. е. волновой процесс происходит синфазно по всей плоскости, в правом столбце имеется общая зависимость от комбинации вся картина бежит по оси медленностью Зависимость от координаты различается только тем, что вместо медленностей звука в правом столбце фигурируют проекции медленностей на ось Такая же замена медленностей на их проекции выполнена и в граничных условиях, и в формулах Френеля.

Значит, формально можно вместо задачи о наклонном падении решать задачу о нормальном падении волны на границу фиктивных сред с медленностями (а для гармонических волн — с волновыми числами и с теми же плотностями, что у настоящих сред; при этом получатся правильные значения коэффициентов отражения и прохождения. Если теперь приписать полученной картине движение вдоль оси х с медленностью , то получится полная картина отражения и прохождения при наклонном падении. Тем самым решение задачи о наклонном падении свелось к решению задачи о нормальном падении. Фиктивные медленности будут зависеть от угла скольжения падающей волны. Волновые сопротивления фиктивных сред станут равны . Коэффициент преломления нужно брать равным

Отношение плотностей останется неизменным. Хотя вводимые таким образом среды фиктивны, соответственные волновые сопротивления вполне реальны: величины действительно равны отношениям давления к нормальной скорости на границе для падающей и для прошедшей волн. Поэтому, вводя обозначения

получим формулы Френеля в том же виде, что и для нормального падения:

Аналогично можно решать и другие задачи о наклонном падении. Например, отражение от препятствия в виде сосредоточенной массы найдем по формулам для нормального падения, заменяя медленность звука в среде на ее проекцию . Коэффициент отражения окажется, в соответствии с формулой (46.4), равным

По такому же рецепту можно решать и задачу о прохождении звука через слой, через последовательность слоев и т. п. Все задачи о падении плоской волны на любую «многослойную» среду можно решать при помощи уравнений, полученных для нормального падения, выполняя соответственные замены медленностей звука в каждом слое на соответственную проекцию медленности. Этим способом вся теория длинных линий переносится на случай наклонного падения.

Есть все же одна особенность наклонного падения, не имеющая аналогии в теории длинных линий: это падение на границу двух сред под закритическим углом падения; отражение при этом перестает быть правильным. Поэтому для волн произвольной формы этот случай нужно исключить. Но для гармонических волн по-прежнему можно пользоваться формулами теории длинных линий, имея только в виду, что для закритических углов придется пользоваться комплексными углами преломления или, что то же, вводить мнимую компоненту медленности по оси или мнимую компоненту волнового вектора. Такой случай в одномерной задаче (при нормальном падении) встретиться не может.

Применим сказанное для нахождения отражения и прохождения через слой гармонической плоской волны при наклонном падении. Для этого в формулах (49.15) для нормального падения заменим на

Отсюда получается, в частности, условие полного прохождения звука через слой:

Это условие равносильно следующему:

где волновое число в веществе слоя, а угол скольжения прошедшей волны в слое. Это значит, что на толщине слоя укладывается целое число полуволн следа волны на оси в слое. Таким образом, пластина может служить монохроматором для случая наклонного падения, причем одна и та же пластина будет пропускать при разных углах падения волны разной частоты. С другой стороны (и этому нет аналогии для нормального падения волны на слой), пластина может служить монохроматором и для волн

одной и той же частоты, но идущих с разными углами падения: полностью будет пропускаться только одно направление падения. Как и для нормального падения, монохроматизация будет тем более острой, чем больше различие свойств среды и слоя. В примере, приведенном в § 49, отклонение направления падения волны от нормального на 10 уже приведет к отражению половины энергии, а на 30 — к отражению 99% падающей энергии. При косом падении на пропускающий слой избирательность будет еще гораздо больше.

При закритических углах скольжения полного прохождения не произойдет. В самом деле, в этом случае аргумент тангенса станет мнимым, а тангенс от мнимого аргумента (гиперболический тангенс) никогда в нуль не обращается (кроме неинтересного случая нулевой толщины слоя). Выражения для коэффициентов отражения и прохождения выразятся при закритических углах скольжения формулами -

Ни ни никогда не обращаются в нуль. Коэффициент прохождения убывает с увеличением толщины слоя экспоненциально. Особый интерес представляет падение в точности под критическим углом. Тогда формулы принимают вид

При увеличении толщины пластины амплитуда прошедшей волны убывает в этом случае не экспоненциально, а медленнее при больших значениях коэффициент прохождения убывает как