§ 24. Спектральные разложения волн

Разложение волн с любой зависимостью от времени на гармонические волны разных частот — это пример так называемого спектрального разложения: представления данной функции в виде линейной суперпозиции (ряда или интеграла) стандартного набора функций с более простыми свойствами. Если эти вспомогательные функции изучены, то исследование других функций сводится к определению коэффициентов в спектральном разложении. В акустике (и в других волновых науках) в качестве такого стандартного набора удобно пользоваться гармоническими функциями времени, представляя заданную волну в виде интерференционной картины гармонических волн разных частот. Спектральный подход освобождает нас от необходимости исследовать каждую волну со своей зависимостью от времени в отдельности: каждая звуковая волна оказывается представленной в виде суперпозиции гармонических функций, и рассмотрение временной зависимости оказывается упрощенным до предела.

Но поле гармонической волны зависит вообще от трех координат, и при одной и той же частоте зависимость от координат может быть самой разной. Возникает вопрос о возможности дальнейшего упрощения изучения волн: возможности представления произвольных гармонических по времени функций от координат также в виде суперпозиции некоторого набора гармонических волн (конечно, той же частоты), стандартно зависящих от координат, — вопрос о пространственном спектре гармонической волны

Ответ на этот вопрос зависит от акустической ситуации. Если известно поле данной гармонической волны на плоскости, то в качестве стандартного набора можно взять плоские гармонические волны (мы увидим в § 33, что это возможно только при некотором обобщении понятия плоских волн), если известно поле на сфере, то удобно производить разложение в спектр по набору так называемых сферических волн, и т. п. В данной главе рассмотрим разложение поля по плоским волнам. Для этого теперь изучим подробно плоские волны и их обобщения.