§ 23. Разложение Фурье волны с произвольной зависимостью от времени

Покажем, что при соблюдении известных условий, налагаемых на временную зависимость волны , которые будем считать выполненными, можно представить волну в виду суперпозиции гармонических волн различных частот путем разложения по Фурье функции Эти условия таковы: если функция периодична по времени, то она разлагается в ряд Фурье; если функция не периодична, но достаточно быстро убывает при (например, является ограниченным по времени импульсом), то она разлагается в интеграл Фурье. Если спадание на бесконечности недостаточно быстрое, то разложение в интеграл Фурье неосуществимо. Будем пользоваться комплексным представлением волн.

Периодическая функция с периодом разлагается в ряд

Коэффициенты меняющиеся от точки к точке, — амплитуды спектра волны в каждой точке.

Непериодическая функция разлагается в интеграл

где

Коэффициенты называют спектральной плотностью амплитуды разложения. Элементы интеграла в области от до нуля — волны с отрицательными частотами. В этой области

Покажем, что каждое из гармонических слагаемых, т. е. член ряда или элемент интеграла является волной, способной распространяться в данной среде. Математически это значит, что гармонические слагаемые должны каждое в отдельности удовлетворять уравнению (22.2).

Волна удовлетворяет по условию волновому уравнению

Гармоническую компоненту ряда или интеграла можно зависать,

опуская постоянный множитель, в виде

считая, что для периодической функции а частота для компоненты номера есть для непериодической функции интеграл берется в бесконечных пределах а частота принимает все значения от до

Умножим волновое уравнение на и проинтегрируем по времени в пределах от а до В первом члене, меняя порядок интегрирования и дифференцирования, найдем

Во втором члене дважды произведем интегрирование по частям:

Но для периодической функции значения функции и ее производных на концах интервала длиной в один период равны между собой, поэтому первые два члена исчезают. Для непериодической функции эти члены исчезают потому, что по условию сама функция исчезает на бесконечности. Следовательно,

Отсюда получим, подставляя в проинтегрированное уравнение,

т. е. компоненты Фурье действительно удовлетворяют уравнению Гельмгольца, а значит, члены разложения данной волны действительно являются волнами, каждая из которых может распространяться независимо от других.

Доказанная теорема имеет важнейшее значение: она придает физический смысл разложению Фурье по времени. Эта математическая операция имеет смысл замены волны с произвольной временной зависимостью суперпозицией волн со стандартной зависимостью от времени — гармонической зависимостью.

Разложение Фурье имеет физический смысл не только для волн, удовлетворяющих волновому уравнению, но, как можно показать (см. § 26), и для волн в более сложных средах. Необходимо только, чтобы уравнение, которому удовлетворяет давление (или какая-либо иная характеристика волны), было линейным и однородным.

Помимо рассмотренных типов волн, возможны еще волны, которые неразложимы ни в ряд, ни в интеграл Фурье, но все же могут быть представлены в виде суперпозиции некоторого дискретного набора гармонических волн: это суммы гармонических волн несоизмеримых частот. Такие волны называют почти периодическими, потому что, как можно показать, любой отрезок такой волны повторяется со сколь угодно большой точностью через достаточно большой промежуток времени. Простейший пример почти периодической волны — биения между двумя волнами близких, но несоизмеримых частот. Аналитически почти период дическую волну можно записать в виде

где частоты несоизмеримы.