§ 150. Колебания сферической полости в твердом теле. Рассеяние на резонансной полости

Теперь найдем свободные колебания полости в сжимаемой среде. В этом случае при радиальных колебаниях происходит излучение продольной волны и колебания затухают; значит, частота таких колебаний комплексна. Вещественную часть частоты и ее мнимую часть, равную коэффициенту затухания собственных колебаний полости, найдем, приравнивая нулю полный импеданс поверхности полости: колебания должны происходить в отсутствие сторонних сил. Значит, условием собственных колебаний будет уравнение

где а — радиус полости.

Решим его приближенно в наиболее интересном на практике случае водоподобной среды. Тогда колебания полости затухают слабо. В самом деле, примем, что комплексная частота равна где и подставим в (150.1) вместо соответственно величины Тогда приближенно (с точностью до условие обращения в нуль импеданса разобьется на два: Итак, частота

собственных колебаний полости практически равна резонансной частоте ее вынужденных колебаний и затухание действительно мало.

В веществах типа резины отношение может достигать нескольких сотен; следовательно, радиус полости, совершающей свободные пульсационные колебания данной частоты, может составлять всего несколько сотых долей длины продольной волны этой частоты в среде. Такие колебания убывают медленно, «высвечиваясь» в виде продольных сферических волн и затухая по закону Добротность колебаний равна, таким образом,

Следует иметь в виду, что приведенный расчет добротности учитывает затухание колебаний в результате только излучения продольных волн пульсирующей полостью. Но обычно в водоподобных средах имеется значительное внутреннее трение, которое повышает затухание собственных колебаний полости и уменьшает их добротность (сравните с § 89). Поглощение в водоподобной среде связано со сдвиговыми деформациями, и его обычно можно учесть, приписывая комплексность модулю сдвига среды, т. е. полагая его равным Если считать, что , то, подставляя комплексное значение модуля сдвига в выражение для волнового числа сдвиговой волны, получим условие резонанса в виде

откуда найдем: Таким образом, частота собственных колебаний остается той же, что и в несжимаемой среде, и в этом случае, а затухание соответственно возрастает; добротность теперь принимает значение

Мы видели, что резонаторы, помещенные в жидкость (пузырьки, резонаторы Гельмгольца и т. п.), весьма сильно рассеивают падающий на них звук резонансной частоты. Естественно предположить, что велико будет и рассеяние звука (продольных волн) на полости, резонансная частота которой совпадает с частотой падающего звука. Механизм этого рассеяния такой же, как и в жидкости: под действием падающей волны полость придет в интенсивные колебания и будет переизлучать энергию падающей плоской волны в виде сферической волны.

Следует заметить, что, как и в жидкости, рассеянное поле будет состоять не только из сферически-симметричной волны, излучаемой полостью при ее колебаниях монопольного типа, но и из излучения другими видами колебаний (дипольными и т. п.). Объемная скорость для этих других колебаний равна нулю: поток смещения через границу полости в разных частях имеет разные знаки и

полный поток равен нулю. Но если резонансным являете как раз симметричное колебание полости, то главный вклад в рассеянное поле даст именно оно.

Итак, будем искать рассеяние на сферической полости плоской волны с потенциалом смещений

где — полярный угол. При подсчете возбуждения полости существенно только, каков полный поток смещения на поверхности полости: полость будет колебаться своим монопольным колебанием так же, как если бы падающее поле было сферически-симметричной волной с тем же потоком смещения, что и данная падающая волна.

Для нахождения такой эквивалентной сферической волны найдем поток вектора смещения, создаваемого данной плоской волной на поверхности сферы. Радиальное смещение на поверхности сферы равно Элемент поверхности сферы с данным полярным углом равен Следовательно, полный поток вектора смещения через поверхность сферы равен

Сделаем замену переменных Тогда интеграл примет вид

Подставляя в формулу для и деля на найдем радиальное смещение для искомой сферически-симметричной волны:

Следовательно, потенциал создаст тот же поток вектора смещения через поверхность данной сферы, что и заданная плоская волна Потенциал же рассеянного сферически-симметричного колебания есть где А — пока неизвестная амплитуда этого колебания. Поэтому суммарный потенциал положим равным

и, приравняв нулю напряжение создаваемое на поверхности полости найдем из этого условия неизвестную амплитуду.

Согласно (148.2) имеем

откуда, полагая и приравнивая нулю, найдем

где мы для краткости ввели обозначение

Условие резонанса — это обращение в нуль вещественнойчасти в знаменателе:

Тогда для амплитуды получается значение а значит, объемная скорость соответственного колебания равна

Отсюда находим излученную мощность:

Но плотность потока мощности в падающей плоской волне есть (см. § 139)

Следовательно, сечение рассеяния полости есть

как и у резонансного пузырька в жидкой среде. Для водоподобного тела резонансным рассеивателем является полость, радиус а которой удовлетворяет условию

Амплитуда колебаний и деформации среды вблизи полости велики по сравнению с колебаниями в падающей волне и, кроме того, имеют в основном характер сдвиговых деформаций, которые в падающей волне были сравнительно малы. Полость в водоподобной среде — а особенно резонансную полость — можно рассматривать как преобразователь деформации сжатия (в плоской волне) в сдвиговые деформации (в сферической волне). Поэтому при наличии поглощения при сдвиге подобные рассеиватели приводят также к большому поглощению звука. На этом их действии основано применение резиновых слоев, снабженных полостями в

качестве поглотителей подводного звука. Покрытия из подобных слоев наносятся на подводные лодки для уменьшения отражения, что служит защитой от обнаружения их при помощи гидролокаторов.