§ 63. Ограниченные трубы. Собственные колебания в ограниченных трубах
В узкой неограниченной трубе, как и в неограниченной среде, могут существовать свободные гармонические волны любой частоты, как бегущие, так и стоячие. Иначе обстоит дело с волнами в конечном отрезке трубы, закрытом крышками, через которые звук не проходит. В таком отрезке трубы возможны только стоячие волны, и притом только определенных дискретных частот. Эти стоячие волны называют собственными колебаниями трубы. Основная задача о звуке в отрезке трубы заключается в нахождении этих дискретных частот собственных колебаний.
Начнем с простейшего случая труб, закрытых абсолютно жесткими или абсолютно мягкими крышками. Конечно, осуществление таких крышек возможно только с некоторой степенью точности: практически крышка может быть только достаточно жесткой или достаточно мягкой, в том смысле, что дальнейшее увеличение степени жесткости или податливости крышки уже не меняет заметно искомые частоты стоячих волн. Для труб, заполненных газом, осуществление достаточно жестких крышек труда не представляет. Для жидкости крышка из твердого материала будет достаточно жесткой только при достаточной ее толщине; заметим, что при заполнении трубы жидкостью возникает также и вопрос о достаточной степени жесткости боковых стенок (см. ниже, § 68).
Абсолютно мягкой «крышкой» явится, конечно, граница, с вакуумом. Но такая граница неосуществима для газов. Почти абсолютно мягкая «крышка» узкой трубы осуществляется гораздо проще — открыванием конца трубы: практически давление (звуковое, а не атмосферное!) у открытого конца трубы равно нулю (расталкивать частицы среды в стороны в неограниченной среде легче, чем продвигать в одном направлении столб среды длиной порядка длины волны). Все же давление у открытого конца не в точности равно нулю. Мы еще вернемся к этому вопросу при расчете излучения звука открытым концом трубы.
Итак, обратимся к расчету частот гармонических колебаний, возможных в ограниченной трубе. Начнем со случая идеальных крышек. На абсолютно жестких крышках скорости частиц обращаются в нуль. Поэтому на крышках должны оказаться пучности давления, и, следовательно, на длине трубы уложится целое число полуволн. Отсюда следует, что для волновых чисел при
собственных колебаниях должно удовлетворяться уравнение
где 
длина трубы и 
Каждому значению I соответствует значение 
волнового числа стоячей волны, возможной в данной трубе; никаких других гармонических волн в трубе быть не может. Этот набор волн образует полную систему гармонических волн в трубе с жесткими крышками. Давление в волне номера 
распределено вдоль трубы по закону
Распределение скоростей частиц дается формулой
Рис. 63.1. Распределение амплитуд давлений и скоростей частиц в первых трех собственных колебаниях в трубе с обеими жесткими крышками.
На рис. 63.1 показаны распределения амплитуд давления и скорости частиц для трех первых номеров колебаний.
Частоты собственных колебаний составляют арифметическую прогрессию:
Собственное колебание наименьшей частоты называют основным тоном, колебания высших частот — обертонами. В трубе с жесткими крышками частоты обертонов относятся к частоте основного тона как целые числа; такие обертоны называют гармоническими.
Отметим весьма важное свойство так называемой ортогональности собственных колебаний:
Из свойств ортогональности и полноты набора собственных колебаний в трубе следует, что любое свободное колебание в трубе можно однозначно представить как суперпозицию собственных колебаний, взятых с теми или иными амплитудами (см. § 66).
Аналогично найдем свободные колебания и в трубе с абсолютно мягкими крышками: на крышках должны лежать узлы давления, а следовательно, вдоль трубы снова должно укладываться целое число полуволн. Соответственное условие снова имеет вид (63.1). Распределения давлений и скоростей в трубе с открытыми концами имеют вид
Распределение амплитуд давлений и скоростей частиц — такое же, как распределение амплитуд скоростей и давлений соответственно в трубе с жесткими крышками. Частоты собственных колебаний оказываются такими же, как и в трубе той же длины с жесткими крышками. Обертоны открытой трубы также гармонические. Выполняется также условие ортогональности всех собственных колебаний, и они образуют полную систему функций: других гармонических колебаний в трубе быть не может.
Рис. 65.2. То же, что на рис. 63.1, для трубы с одной жесткой и второй мягкойкрышкой.
В трубе с одной абсолютно жесткой и другой абсолютно мягкой крышкой на первой из них должна оказаться пучность, а на второй — узел давлений. Поэтому на длине трубы должно укладываться нечетное число четвертей длин волн. Это дает следующее условие для волнового числа:
Давления и скорости последовательных волн выразятся формулами
Формы первых трех колебаний показаны на рис. 63.2. Частоты последовательных волн павны
Органные трубы делают двух типов: открытые с обоих концов («открытые трубы») и открытые с одного и жестко закрытые с другого конца («закрытые трубы»). Открытый конец равносилен абсолютно мягкой крышке. Поэтому при игре на органе в «открытых» трубах возбуждается весь набор гармонических обертонов основного тона, а в «закрытых» — только нечетные обертоны. Это приводит к характерному различию тембров этих двух типов труб.
