§ 141. Скалярный и векторный потенциалы

Зачастую при решении конкретных задач удобно иметь дело с уравнениями не относительно векторов (в нашем случае векторов смещения), а скаляров. Поэтому сейчас введем некоторые скаляры, дифференцированием которых можно было бы получить и смещения, и напряжения в твердом теле, и напишем для них уравнения движения вместо уравнений (140.7), (140.8) для смещений. Именно, представим (что всегда возможно) потенциальную часть смещения в виде градиента некоторого скаляра а соленоидальную часть - в виде вихря некоторого вектора

Очевидно,

Скаляр называют скалярным потенциалом данного движения среды, а вектор -векторным потенциалом. Казалось бы, такой заменой цель не достигнута полностью, так как два вектора заменены одним скаляром и одним вектором. Однако в наиболее часто встречающихся случаях приходится иметь дело с движениями, имеющими ту или иную симметрию, например, с плоскими движениями; в этих случаях, как увидим, не равной нулю остается только одна компонента векторного потенциала и уравнение для нее также является скалярным. В тех же случаях, когда нас интересуют только потенциальные движения среды, вся задача сводится к нахождению только одного скалярного потенциала Сжатие среды всегда выражается только через скалярный потенциал: Поэтому среднее нормальное напряжение также выразится только через

В тензорной записи из (141.1) имеем

где дискриминантный тензор, компоненты которого равны нулю, если в числе индексов имеются два одинаковых, и равны или —1, если индексы соответственно образуют или не образуют циклическую перестановку порядка 1, 2, 3. Подставляя (141.2) в (134.6), получим

Согласно (136.1) тензор напряжений выразится формулой

Получим уравнения для скалярного и для векторного потенциалов в отдельности. Подставляя вместо в первое из уравнений (140.6) величину найдем

Интегрируя один раз по координатам, найдем, что скалярный потенциал удовлетворяет волновому уравнению

При получении этого уравнения мы теряем аддитивное решение в виде линейной функции от времени, умноженной на линейную

функцию от координат. Однако это решение не дает никакого вклада в волновое движение среды, и его можно опускать. Для гармонического движения получим из (141.4) уравнение Гельмгольца для скалярного потенциала:

Аналогично, подставляя вместо во второе уравнение (140.8) функцию найдем

Интегрируя один раз по координатам, получим волновое уравнение и для векторного потенциала

При получении этого уравнения мы теряем аддитивное решение в виде потенциального вектора. Но и это решение не дает никакого вклада в движение среды и его тоже можно опустить. Для гармонического движения получим уравнение Гельмгольца и для векторного потенциала:

Особенно просты волновые уравнения для плоского движения. Если движение происходит параллельно плоскости и не зависит от координаты у, то отлична от нуля только -компонента векторногопотенциала: в противном случае не равнялась бы нулю у-компонента смещения. Для этой единственной не равной нулю компоненты, которую будем обозначать волновое уравнение делается скалярным:

Таким образом, уравнения такого плоского движения — это два скалярных волновых уравнения: уравнение (141.4) для скалярного потенциала и уравнение (141.6) для единственной не обращающейся в нуль -компоненты векторного потенциала.

Компоненты смещения для этого плоского движения равны

Формулы, выражающие напряжения через потенциалы, получим из формул (136.1) и (141.7). Так, для имеем

Прибавляя к правой части и вычитая эту же величину, найдем

Но, согласноволновому уравнению (141.4),

так что

Аналогично найдем, пользуясь (141.6):

Так же получим и выражение для

Из симметрии задачи следует, кроме того:

Наконец, как легко видеть;

Для гармонических волн формулы (141.8)-(141.10) и (141.12) дадут