§ 140. Общие уравнения распространения волн в твердом теле

Напишем линеаризованные уравнения движения для твердой среды. Рассмотрим параллелепипед со сторонами

Если бы деформация была однородной, то одноименные напряжения на противоположных гранях, например нормальные напряжения на гранях с нормалями, совпадающими с положительным и отрицательным направлением оси были бы равны друг другу по величине и противоположны по знаку: это были бы

напряжения Аналогичные соотношения имели бы место и для других противоположных граней и для других компонент напряжения. Так, по противоположным граням с нормалями, параллельными оси действовали бы напряжения и

Но при неоднородном напряженном состоянии, например в упругой волне, напряжения по противоположным граням не равны по модулю: если на одной грани нормальное напряжение равно то на противоположной грани напряжение равно аналогично на других гранях будут действовать напряжения напряжения Умножая действующие напряжения на площади соответственных граней и складывая, найдем, что результирующая сила, действующая на Данный параллелепипед, равна сумме

Под действием этой силы данный элемент будет двигаться с ускорением Масса элемента составляет где плотность данной твердой среды. Значит, уравнение движения элемента среды можно записать в следующем виде:

или, выражая компоненты тензора напряжений через компоненты тензора деформации,

Замечая, что

получим еще следующую форму записи уравнения движения:

Отсюда удобно перейти к векторной записи уравнения

Воспользуемся еще векторным тождеством

Тогда (140.3) примет вид

Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы потенциального вектора, вихрь которого равен нулю, и

соленоидального вектора, дивергенция которого равна нулю. Если представить в таком виде вектор смещения а, то можно получить отдельно уравнения для потенциальной и соленоидальной части смещения. В самом деле, положим и считая Подставляя в (140.4), найдем

В силу единственности разложения данного вектора на потенциальную и соленоидальную части отсюда находим

или, вспоминая выражения для скоростей продольных и поперечных волн,

Применяя векторное тождество к векторам найдем

Следовательно, уравнения (140.6) можно переписать в виде волновых уравнений для векторов а, и

В частном случае плоских волн, распространяющ ихся вдоль оси х, т. е. волн, смещения в которых зависят только от координаты х, приходим снова к уравнениям (139.1) и (139.4), которые снова дают решения (139.2) и (139.5).

Для гармонических волн уравнения (140.7) принимают вид

Это — уравнения Гельмгольца для векторов