§ 125. Квадратичная поправка для бегущей плоской волны

Будем искать квадратичную поправку для бегущей плоской волны при различных акустических ситуациях. Для бегущей волны правая часть уравнения (124.9) всегда является решением этого же уравнения без правой части:

Пользуясь этим соотношением, можно переписать (124.9) в виде

Это уравнение можно интерпретировать как одномерное уравнение линейной акустики при действии на среду сторонних сил, распределенных с объемной плотностью

Таким образом, для бегущей плоской волны квадратичную поправку можно рассматривать как результат действия в

линейной среде либо сторонних источников объемной скорости (124.13), либо сторонних сил (125.2). Для произвольной одномерной волны возможна только первая интерпретация. В различных случаях бывает удобно пользоваться либо одной, либо другой интерпретацией.

Рассмотрим сначала ситуацию, в которой в начальный момент задано:

Квадратичная поправка в данном случае — это частное решение (124.9), которое в начальный момент обращается в нуль. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что таким решением является нарастающая волна

Поправка оказывается вековым членом, потому что правая часть уравнения для поправки является решением однородного уравнения. В этом отношении явление сходно с процессом раскачки резонатора сторонней силой резонансной частоты. В данном случае совпадают не только частоты, как в задаче о резонаторе, но и скорости распространения стороннего воздействия и создаваемой этим воздействием волны, которая и является квадратичной поправкой: фазовые соотношения между волной и сторонним воздействием все время сохраняются и над возникающей волной все время производится работа одного и того же знака, что и приводит к нарастанию поправки.

Для волны синусоидального типа

уравнение (124.9) принимает вид

откуда

В каждый момент времени квадратичная поправка — это синусоидальная же волна, но с длиной волны, равной половине длины волны в исходном звуковом поле. Временная зависимость давления в каждой точке — не синусоидальная. Имеет смысл, применяя неточную, но ходовую терминологию, называть квадратичную поправку гармонической волной двойной частоты или второй гармоникой исходной волны, приписывая ей «переменную амплитуду» растущую пропорционально времени. Исходную волну удобно называть первой гармоникой. Такая трактовка имеет смысл только в том случае, когда нарастание амплитуды за один период мало по сравнению с самой амплитудой, т. е. при

Нарастание второй гармоники происходит за счет энергии исходной волны, амплитуда которой вследствие такой перекачки энергии будет уменьшаться с течением времени. Поэтому пользоваться методом малых возмущений, в котором для расчета квадратичной поправки принимается, что исходная волна практически не меняется с течением времени, можно только до тех пор, пока энергия поправки остается относительно малой. Это аналогично условию применимости метода малых возмущений в теории рассеяния: требованию малости рассеянного поля по сравнению с первичным. Если указанное требование выполнено, то можно найти (малое) ослабление исходной волны, вызванное перекачкой ее энергии во вторую гармонику (см. § 127).

Отношение амплитуды второй гармоники к амплитуде первой гармоники равно

где число периодов, протекших от начального момента.

Скорость нарастания относительного значения квадратичной поправки тем больше, чем выше частота. Изменение этого относительного значения за один период от частоты не зависит. Для идеального газа

Рассмотрим теперь другую акустическую ситуацию: работу излучателя, создающего в данной точке заданное давление. Пусть, например, поршень, колеблющийся в трубе, создает на своей поверхности, имеющей лагранжеву координату давление В линейном приближении в трубе создается волна вида Квадратичная поправка должна, удовлетворяя уравнению (125.1), обращаться в нуль на поверхности поршня: при Аналогично предыдущей задаче непосредственной подстановкой убедимся, что искомое решение имеет вид

Например, для синусоидального закона изменения давления на поршне имеем и

В этом случае квадратичную поправку можно считать второй гармоникой с амплитудой (1/2) не зависящей от времени и растущей пропорционально расстоянию от поршня. Поправка является в решении вековым членом относительно координаты.

Отношение амплитуд второй и первой гармоник выражается формулой, аналогичной (125.6):

где число длин волн первой гармоники, укладывающихся на расстоянии от излучателя до рассматриваемой точки.

Движение поршня в этой задаче не синусоидально. Действительно, подставляя найденное решение в первое уравнение (124.7), найдем для точки

что даст для рассматриваемого случая квадратичную поправку к смещению, равную

Поскольку смещение первого порядка равно в этом случае

то отношение амплитуд смещения для поправки и основного колебания равно

В качестве еще одного варианта постановки задачи примем за величину первого порядка заданное смещение поршня считая дополнительным условием задачи равенство в точке Из первого уравнения (124.7) видно, что при этом условии будет также при Смещение в волне первого порядка равно в данном случае Соответственная величина давления первого порядка равна Простой подстановкой хнова легко проверить, что искомое решение имеет вид

Важно отметить, что, в отличие от линейного приближения, в приближении, учитывающем квадратичную поправку, интегральный импульс давления в бегущей волне не равен нулю даже при результирующем смещении поршня, обращающемся в нуль. В самом деле, пусть в точке выполняется равенство

Интеграл от по времени в бесконечных пределах равен нулю. Обратится в нуль после интегрирования по времени в бесконечных пределах и первый член справа в (125.10) для бегущей волны

(этот член можно представить как производную по времени). Последний же член справа существенно положителен и при интегрировании даст величину, отличную от нуля. Этот интеграл и будет представлять собой импульс давления за время возвращения поршня в исходное положение.

Так, например, для синусоидального движения поршня для давление первого порядка есть а квадратичная поправка равна

где амплитуда давления первого порядка на поршне.

Следовательно, поршень испытывает добавочное давление второго порядка, равное . Результирующее давление на поршень складывается, таким образом, из синусоидального давления первого порядка, синусоидального же давления второго порядка двойной частоты и, наконец, постоянной составляющей также второго порядка. Усредненное по времени значение давления, действующего на поршень, движущийся синусоидально, равно (1/4) То же значение имеет среднее по времени давление и для любой другой частицы среды.