§ 139. Продольные и поперечные плоские волны в твердом теле

Один из типов плоских волн в твердом теле подобен волне в жидкости: это — продольная волна. Пусть смещения частиц и направлены по оси х и зависят только от координаты х (для этого простого случая можно обойтись без тензорных обозначений; вообще тензорные обозначения обычно удобны для расчетов самых общих случаев, а в конкретных частных случаях удобнее выбирать определенную систему координат, применительно к данной

задаче). Напомним составление уравнений движения для такого случая. Для этого рассмотрим, какие силы действуют на поверхность выделенного элемента среды, который возьмем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами параллельными осям координат. Так как все смещения зависят только от координаты х, то напряжения по боковым стенкам элемента взаимно уничтожатся в силу симметрии. Нормальные же напряжения по передней и задней стенкам будут равны соответственно

Таким образом, равнодействующая сил напряжения на элемент со стороны окружающей среды будет равна

Обозначая плотность среды через получим уравнение движения в виде

Это — линеаризованное уравнение (ср. § 13): вместо полной производной по времени взята частная производная; плотности принята равной невозмущенному значению.

Это уравнение имеет решения в виде плоских волн продольного смещения произвольной формы, бегущих в положительном и отрицательном направлении оси х (волны сжатия и растяжения):

где скорость продольных волн В отличие от жидкости, эта скорость определяется не только модулем всестороннего сжатия среды, но и модулем сдвига:

Таким же способом можно показать, что скорости продольных волн в стержне или в пластине равны соответственно

Из этих трех скоростей продольных волн наибольшее значение имеет скорость волн в безграничной среде это наибольшая скорость возмущения в твердом теле. Кинематическое сходство плоской продольной волны в твердой среде с такой же волной в жидкости не распространяется на напряжения: в жидкости давление не зависит от ориентировки площадки, на которой оно измеряется, и в плоской волне равно где К — модуль упругости

продольной волны, совпадающий для жидкости с модулем всестороннего сжатия. В твердом же теле распределение величины, аналогичной давлению — нормального напряжения, взятого с обратным знаком, — зависит от расположения площадки: на площадке с нормалью, направленной вдоль распространения волны, нормальное напряжение равно а по перпендикулярной к этому направлению площадке (например, площадке с нормалью у или напряжение равно

В твердом теле, как уже говорилось, помимо продольных волн, может распространяться волна поперечного типа, в которой смещения частиц перпендикулярны к направлению распространения. Это — волна чистого сдвига. Пусть, например, смещения и частиц направлены по оси у и зависят только от координаты х. Тогда, как легко видеть, движение выделенного параллелепипеда определяет сдвиговые напряжения действующие на гранях Напряжения на передней и задней гранях будут равны соответственно

Уравнение движения снова получится в виде волнового уравнения

Решениями уравнения являются плоские сдвиговые волны поперечного смещения в направлении оси у

где скорость поперечных волн равна

Гармонические волны рассмотренных типов можно записать в следующем виде:

продольная волна в неограниченной среде:

продольная волна в стержне:

продольная волна в пластине:

поперечная (сдвиговая) волна в неограниченной среде:

Напомним, что в продольных волнах в неограниченной среде в стержне и в пластине смещения параллельны направлению рас

пространения (если отвлечься от малых поперечных «пуассоновых» смещений); в поперечных волнах смещение перпендикулярно к направлению распространения.

В твердой среде, как и в жидкости, возможно распространение неоднородных гармонических плоских волн как продольного, так и поперечного типов. Скорости этих волн меньше соответственно величин а амплитуда меняется экспоненциально вдоль фронта. Продольные и поперечные неоднородные волны со смещениями, лежащими в плоскости и бегущие вдоль оси можно записать в виде

где — для продольных волн и для поперечных волн.

Пользуясь выражениями для упругих модулей, полученными в § 138, выпишем соотношения между скоростями различных типов однородных волн в твердом теле и коэффициентом Пуассона:

Например, при имеем или Из неравенств § 138 следует, что всегда

Обобщая понятие волнового сопротивления среды, для твердой среды можно ввести понятия продольного волнового сопротивления и поперечного волнового сопротивления Легко видеть, что для волны, бегущей вдоль оси х,

где через обозначено смещение частиц в продольной и в поперечной плоской волне соответственно. Аналогично можно ввести и понятия проводимости (или импеденса) в нормальном и в касательном направлении (во втором случае подразумевается, что среда «приклеена» к препятствию). Эти проводимости в нормальном и касательном направлениях определяются формулами

Сдвиговая волна вида (139.5) была выбрана линейно поляризованной в направлении оси у. Но вдоль оси х могут бежать сдвиговые волны, поляризованные и по другим направлениям. Суперпозиция таких волн особенно просто записывается для

гармонических волн. В этом случае самый общий вид сдвиговой волны данной частоты, бегущей вдоль оси х, можно представить в виде суперпозиции двух волн, линейно поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях:

где орты осей у и z. Варьируя соотношение между комплексными амплитудами а и волн, поляризованных по осям получим волны, в которых частицы описывают разные эллипсы (лежащие все в плоскостях, перпендикулярных к оси Например, при обоих вещественных коэффициентах а и получается линейная поляризация: частицы движутся по прямой, наклоненной к оси у под углом При комплексном отношении получается эллиптическая поляризация волны: траектории частиц — эллипсы с разным наклоном осей. При получается круговая поляризация: траектории частиц — окружности радиуса Скорость всех этих типов поперечных волн одинакова и также равна

Приведем формулы для плотности потока мощности в плоских волнах в твердом теле. В продольной волне бегущей вдоль оси х, единственная компонента напряжения, производящая работу, есть Значит, плотность потока мощности есть или, поскольку Для гармонической волны мгновенный поток мощности равен что даст для среднего потока

Аналогично для поперечной волны бегущей вдоль оси х и поляризованной, например, вдоль оси у, единственная компонента напряжения, производящая работу, есть что дает для плотности потока мощности выражение Так как в сдвиговой волне то и для гармонической волны с амплитудой смещения и 0 средний поток мощности равен