§ 6. Поперечные волны на струне

Классический пример распространения волн — поперечная волна на математической идеальной струне. Так называется бесконечная абсолютно нерастяжимая идеально гибкая нить, натянутая с некоторой постоянной силой «Средой» является в данном случае натянутая нить.

Пусть по струне бежит волна поперечных отклонений. Форму деформированной струны можно считать профилем смещений струны. Если возмущение занимает ограниченную область на струне, то неподвижную систему отсчета можно считать связанной со струной вне области возмущения: перенос массы, осуществляемый возмущением, бесконечно мал по сравнению с полной массой бесконечной струны.

Рис. 6.1. Силы, действующие на элемент струны, и их результирующая.

Рис. 6.2. Самопересекающийся профиль бежит по струне с той же скоростью, что и волна любой другой формы.

Поэтому, если нам удается найти такую скорость с подвижной системы отсчета, что профиль струны в этой системе неподвижен, то частицы струны пробегают этот неподвижный профиль с той же скоростью с. Тогда ускорение элемента струны, пробегающего в данный момент времени некоторую точку неподвижного профиля, равно где х - кривизна профиля в этой точке, и направлено по главной нормали к профилю в этой точке.

Обозначим натяжение струны через Т и ее погонную плотность через Элемент струны длины имеет массу Значит сила, которая должна действовать элемент для осуществления данного движения, равна и также направлена по главной нормали к профилю. Но единственные силы, действующие на элемент это силы натяжения на его концах (рис. 6.1). Их равнодействующая равна и направлена по главной нормали

к элементу. Условие осуществления данного движения имеет вид

откуда

Это соотношение не зависит от формы профиля волны; при любой форме профиль остается неизменным и бежит относительно струны со скоростью

Заметим, что неизменность формы сохраняется и у неплоских, и у самопересекающихся профилей, например имеющих вид витка (рис. 6.2). Такая «баранка» будет бежать по струне с той же универсальной скоростью