§ 81. Круглая труба как волновод

Рассмотрим теперь волноводы с круговым сечением. Они важны ввиду широкого распространения в технике круглых труб. Направим ось х цилиндрической системы координат по оси трубы и будем искать нормальные волны в виде Подставляя в (80.1), в котором заменено на х, получим уравнение для

Но зависимость от полярного угла должна, из физических соображений, быть периодической, с периодом, кратным Каждый коэффициент кратности даст волны с другим распределением поля по углу. Для каждого коэффициента кратности I зависимость от полярного угла можно выбрать в виде или Полагая или получим из (81.1) уравнение для

Это — известное уравнение для бесселевых функций порядка Из физических соображений из двух линейно независимых решений этого уравнения где следует выбрать первое, так как только оно остается конечным в центре трубы (для кольцевой трубы следовало бы взять вообще оба решения). Итак, нормальные волны в круглой трубе можно представить в виде

или

В простейшем случае радиальной симметрии получаем нормальную волну нулевого углового номера

Значения набора радиально-симметричных волн определятся граничными условиями. Наиболее важен случай жестких стенок трубы, т. е. случай равенства нулю радиальной скорости на границе. Обозначая радиус трубы через а, получим следующее граничное условие:

Корни этого уравнения — нули бесселевой функции первого порядка: Волновые числа

нормальных волн будут, таким образом, равны соответственно Решение соответствует нормальной волне это — плоская волна, которая может распространяться в волноводе с любой формой сечения, если стенки его абсолютно жесткие. Последовательные номера найденных корней (не считая радиальные номера волн — дают число узловых окружностей радиальной скорости; они имеют одно и то же положение для волны данного радиального номера при любой частоте. Радиус сечения делится этими окружностями в отношении последовательных нулей бесселевой функции первого порядка; стенка трубы соответствует нулю номера, равного радиальному номеру волны.

Критические частоты соответствуют т. е. на критической частоте величина равна соответственному нулю бесселевой функции. Например, при критической частоте первой нормальной волны . При этом длина волны звука или Разность последовательных критических значений стремится к по мере возрастания номера волны. На критических частотах колебания чисто радиальные (радиальный резонанс). Ниже критической частоты чисто мнимое, распространение волны прекращается и нормальная волна делается неоднородной вдоль оси волновода.

Распределение давлений и осевых скоростей по радиусу дается бесселевой функцией нулевого номера. В целом эта зависимость похожа на косинусоиду, за исключением участка малых и с тем отличием, что амплитуда осцилляций не остается постоянной, а убывает с увеличением радиуса (асимптотически — как Зависимость фазовых и групповых скоростей от аимеет тот же характер, что и зависимость от для плоского волновода. На критических частотах фазовые скорости обращаются в бесконечность, а групповые — в нуль; при стремлении частоты к бесконечности обе скорости стремятся к с сверху и снизу соответственно.

Нормальные волны следующего углового номера уже не имеют осевой симметрии.

или

На оси нормальной волны первого углового и высших угловых номеров всегда лежит нуль давления. Каждому угловому номеру соответствует целый набор радиальных номеров, имеющих, как и в волне нулевого углового номера, различные распределения поля по радиусу. Первые критические частоты нормальных волн углового номера соответствуют значениям

Волны с угловой зависимостью в виде косинуса и в виде синуса получаются друг из друга поворотом всего распределения поля по сечению на 90° вокруг оси волновода. Это — так называемые вырожденные волны: при одинаковых частотах они имеют совпадающие скорости. Любая суперпозиция двух таких волн одинаковой частоты распространяется без изменения формы.

Особый интерес представляют нормальные волны высоких угловых порядков: случаи, когда номер бесселевой функции I превышает величину При распределение давления по радиусу трубы похоже на синусоиду, но при форма бесселевой функции, а значит, и радиальное распределение поля совершенно другие. Вблизи оси трубы давление оказывается малым, и чем выше номер, тем, при данной частоте, дальше простирается эта область малых значений; узлы давления по радиусу отсутствуют. Возмущения велики только на стенках трубы.

Эту особенность можно понять следующим образом. Рассмотрим для простоты критическую частоту Давление на окружности стенки трубы распределено по синусоидальному закону и, считая по длине окружности, одна волна занимает участок С другой стороны, длина волны в среде есть Отношение этих величин есть При периодичность пространственного распределения давлений по стенке трубы мельче, чем длина волны звука. Если бы такая периодичность была задана на плоской стенке, давление спадало бы при удалении от плоскости экспоненциально (см. § 32). При такой же периодичности на вогнутой поверхности давление спадает медленнее, но все же так, что на расстоянии нескольких длин волн может оказаться весьма малым по сравнению с полем на самой стенке. Эту картину распределения давлений можно назвать своеобразным «скин-эффектом».

Иногда номер волны, генерируемой в трубе, задается самим шумящим устройством. Например, многолопастный вентилятор создает волну, номер которой равен числу лопастей. В этих случаях звуковое поле в трубе сосредоточено на ее периферии.