§ 115. Рассеяние от слабо шероховатой поверхности

Метод малых возмущений позволяет также найти поле, рассеиваемое плоской поверхностью, возмущенной малыми и пологими шероховатостями, т. е. шероховатостями, высота которых мала по сравнению с длиной волны первичного излучения, а наклоны малы по сравнению с единицей. В этой задаче невозмущенной границей считают среднюю плоскость шероховатой поверхности. Если обозначить ее через то уравнение возмущенной границы можно записать в виде где среднее значение вдоль средней плоскости равно нулю. Малость высоты шероховатостей выражается условием , где -волновое число первичного излучения; условия малости наклонов выразятся так; . Статистические характеристики X будем считать неизменными вдоль всей плоскости.

Сумма падающей волны и волны, отраженной от невозмущенной границы, явится в данной задаче первичной волной Полное поле представим как сумму первичной волны и рассеянной волны — добавочного поля обусловленного шероховатостью. Наша задача — зная шероховатость поверхности, найти для заданной падающей волны рассеянную волну Для малых шероховатостей рассеянное поле, как правило, мало по сравнению с первичным полем вдали от границы; во всяком случае, мы будем рассматривать только такие задачи.

Величина и характер рассеянного поля зависят от свойств шероховатой поверхности. Начнем со случая свободной шерохо-, ватой поверхности. Наиболее важный пример такой задачи — рассеяние подводного звука на свободной поверхности воды. Первичная волна удовлетворяет в этом случае условию на плоскости Но полное давление должно обращаться в нуль не на этой плоскости, а на свободной границе среды

На этой границе давление первичной волны с точностью до первой степени малой величины равно поскольку производная имеет вообще порядок Если теперь к поверхности приложить в дополнение

к первичному полю сторонние давления, распределенные по закону

то суммарное давление на свободной поверхности обратится в нуль, т. е. поле первичной волны и поле, создаваемое введенными сторонними давлениями, совместно удовлетворяют заданному на шероховатой поверхности граничному условию. Отсюда следует, что звуковое поле, создаваемое в среде сторонними давлениями (115.1), и есть рассеянное поле Наконец, пренебрегая малыми величинами высших порядков относительно и углов наклона поверхности к средней плоскости, можем считать, что сторонние давления приложены к средней плоскости в этом приближении достаточно учесть шероховатость только для расчета сторонних давлений, после чего ее можно больше не учитывать.

Воспользуемся описанным методом для расчета рассеянного поля в некоторых важных случаях. При этом ограничимся для простоты плоскими задачами — обобщение на двухмерную шероховатость не представляет затруднений. Рассмотрим раньше всего синусоидальную шероховатую поверхность

считая, в соответствии с вышесказанным, что . Пусть на поверхность падает гармоническая плоская волна

образующая угол скольжения со средней плоскостью поверхности. Первичное поле образовано этой волной и ее отражением в плоскости

Согласно (115.1) рассеянное поле создается сторонними давлениями, распределенными по шероховатой поверхности по закону

Отсюда видно, что при падении плоской волны рассеяние синусоидальной шероховатостью эквивалентно излучению, создаваемому двумя двухмерными плоскими волнами сторонних давлений (115.4), бегущими по средней плоскости данной поверхности.

Как мы видели в § 33, каждая из таких двухмерных волн излучает в среду свой спектр — плоскую пространственную волну,

след которой на границе совпадает с двухмерной волной. Рассеянное поле имеет, таким образом, вид

где индексом обозначен спектр, след которого отстает от следа первичной волны, а индекс —1 обозначает спектр, след которого перегоняет или бежит в противоположную сторону по отношению к первичной волне. Углы скольжения спектров определяются формулами

Рис. 115.1. Волновые векторы спектров рассеяния плоской волны, падающей на синусоидальную поверхность. волновой вектор падающей волны, волновой вектор «правильно рассеянной» (отраженной от плоскости) волны, волновые векторы спектров рассеяния. волновое число синусоидальной шероховатости.

Пока эти выражения остаются меньшими единицы, спектры рассеяния — однородные волны, уходящие от границы, и их волновые векторы — можно построить, как показано на рис. 115.1. Начиная с некоторого угла скольжения первичной волны и при дальнейшем его уменьшении косинус угла скольженйя спектра окажется больше единицы; это значит, что спектр станет неоднородным и будет бежать вдоль границы, экспоненциально затухая при удалении от нее. Если то, начиная с некоторого угла скольжения первичной волны, станет неоднородным и второй спектр: При оба спектра неоднородны при любом угле скольжения первичной волны; волна отражается от такой шероховатой поверхности как от зеркальной (если не считать возмущенного неоднородными спектрами «ближнего поля»).

Амплитуды обоих спектров одинаковы и равны независимо от того, однородны спектры или нет. По мере уменьшения угла скольжения эффект шероховатости уменьшается: амплитуда спектров падает.

Аналогично можно найти рассеяние и от абсолютно мягкой поверхности с любой периодической шероховатостью. В самом

деле, так как высота (малых!) шероховатостей входит в выражение для сторонних давлений линейно, то к шероховатостям можно» применять принцип суперпозиции: рассеяние от шероховатости равно сумме полей, рассеянных от шероховатостей в отдельности. Поскольку всякую периодическую шероховатость можно представить в виде суперпозиции косинусоидальных шероховатостей при помощи разложения Фурье, рассеяние плоской волны от такой поверхности представится в виде Суперпозиции соответственных спектров: каждая косинусоида разложения создаст два спектра — один по одну и другой по другую сторону от направления зеркального отражения падающей плоской волны. Направления волновых векторов спектров определятся формулами

где основной период шероховатостей, I — номер спектра. Рассеяние происходит, таким образом, по дискретным направлениям. Из (115.6) ясно, что высокие номера спектров будут неоднородными: тонкая структура шероховатости не будет передаваться в среду. При шероховатая поверхность ведет себя как зеркальная. С этим характерным свойством волн — «забывать» мелкомасштабные воздействия на них — мы уже встречались в гл. III и VIII.

Если шероховатость не периодична, но ее можно разложить в интеграл Фурье, то, «пристраивая» к каждому элементу разложения соответственный спектр, найдем рассеянное поле, которое в этом случае будет занимать непрерывную область углов.

Аналогично решается и задача о рассеянии волн на абсолютна жесткой шероховатой поверхности (например, рассеяние воздушного звука на волнующейся поверхности моря). В этом случае на границе должна обратиться в нуль суммарная нормальная скорость первичного и рассеянного поля Граничное условие для первичной волны — обращение в нуль z-компоненты скорости на плоскости Как легко видеть, в первом приближении по малым величинам первичная волна создает на шероховатой поверхности нормальную скорость

Поэтому граничное условие на шероховатой границе будет выполнено, если сообщить границе добавочно сторонние нормальные скорости — которые «остановят» границу. Значит, рассеянное поле равно излучению, создаваемому сторонними нормальными скоростями распределенными по шероховатой границе. Как и для случая мягкой границы, сторонние нормальные скорости, приложенные к шероховатой границе, можно, не увеличивая

порядка погрешности, считать заданными как -компоненты сторонней скорости непосредственно на плоскости

В качестве примера снова возьмем плоскую задачу о рассеянии волны (115.3) на синусоидальной поверхности (115.2), которую теперь считаем абсолютно жесткой. Согласно (115.7) сторонние скорости, заданные на плоскости запишутся так:

Отсюда сразу получим, согласно § 34, и сами спектры:

Направления спектров получаются такими же, как и для абсолютно мягкой поверхности: углы скольжения их удовлетворяют тем же уравнениям (115.5); совпадают и условия однородности спектров. Но амплитуда рассеяния от жесткой поверхности совсем другая, чем от мягкой. В частности, при стремлении угла скольжения какого-либо рассеянного спектра к 0° или 180° («скользящий спектр») его амплитуда стремится к бесконечности. Это указывает, во-первых, что амплитуда рассеянного спектра действительно растет по мере его приближения к «скользящему», а во-вторых, что амплитуду «скользящего» или близкого к «скользящему» спектра нельзя рассчитывать по формуле (115.8).