§ 106. Осцилляции и излучение звука малым твердым телом под действием сторонней силы

В предыдущих параграфах мы изучили излучение, создаваемое малой жесткой сферой, осциллирующей в жидкости с заданной скоростью. Мы показали также, что при нахождении движения сферы заданной массы влияние реакции среды можно учесть, добавляя к фактической массе сферы «присоединенную массу».

Поставим теперь те же задачи для малого тела произвольной формы: определим его излучение, если известна скорость его осцилляций, и найдем скорость осцилляций тела, если известна сторонняя сила, на него действующая. Решив эти две задачи, мы сможем найти излучение, Создаваемое малым твердым телом, на которое действует заданная сторонняя сила. Движение среды вокруг движущегося тела произвольной формы не удается найти в явном виде, как мы это сделали для сферы. Поэтому обе поставленные задачи допускают только частичное решение.

Для решения поставленных задач не требуется знать движение среды во всех деталях: достаточно знать реакцию среды на движение тела. Так же как и для малой сферы, реакция среды на движение малого тела любой формы практически не зависит от сжимаемости среды. Поэтому при определении этой реакции будем считать среду несжимаемой, а излучение будем находить косвенным образом — по модулю силы, с которой тело действует на среду.

Как мы видели выше, для определения реакции среды на заданное движение сферы достаточно знать только одну величину: присоединенную массу среды. Для тела любой другой формы такой одной величины нет: реакция среды существенно зависит от формы тела и от его ориентировки относительно направления его движения. Так, при движении плоской фигуры плашмя реакция велика, а при движении ребром — мала. Покажем, что реакцию при движении по любому направлению для тела любой формы можно найти, если знать шесть величин, зависящих от формы этого тела. Рассмотрим этот вопрос в общем виде.

Пусть в несжимаемой среде, покоящейся на бесконечности, данное твердое тело совершает гармонические колебания вдоль какой-либо прямой. Как известно из гидродинамики, движение, возникающее в идеальной несжимаемой жидкости при перемещении в ней твердого, тела, является потенциальным и полностью определяется скоростью тела в данный момент. При этом амплитуда колебаний частиц среды пропорциональна амплитуде скорости колебаний тела и не зависит от частоты: компоненты скорости частиц являются линейными однородными функциями компонент скорости тела с коэффициентами, зависящими от координат частицы. Следовательно, кинетическая энергия среды — однородная квадратичная функция компонент скорости тела.

В дальнейшем удобно пользоваться тензорными обозначениями. Пусть скорость тела есть вектор Кинетическую энергию среды можно записать в виде

Коэффициенты зависят от формы и величины тела и от направления выбранных осей и пропорциональны плотности среды. Обозначая можем переписать эту формулу в виде

Так как кинетическая энергия среды инвариантна по отношению к преобразованию координат, а вектор произволен, то система коэффициентов образует тензор. Очевидно, тензор симметричен и, следовательно, определяется шестью величинами. Его называюттензорсш присоединенных масс тела. Будем считать, что тензор присоединенных масс для данного тела известен. Для частного случая сферического твердого тела тензор присоединенных масс — диагональный тензор его диагональные компоненты по любой оси равны присоединенной массе сферы.

Зная тензор присоединенных масс, можно найти силу с которой тело, движущееся с данным ускорением, действует на среду. Действительно, работа этой силы должна равняться приращению кинетической энергии среды (внутренняя энергия несжимаемой среды не меняется). Мощность силы равна . Приравнивая ее производной по времени от кинетической энергии, получим

где вектор ускорения тела. Так как и — произвольный вектор, то, согласно известной теореме векторной алгебры, должно быть

Реакция среды на тело равна

Пусть масса тела, совершающего данное движение, равна Очевидно, сторонняя сила сообщающая погруженному телу данное ускорение, сложенная с реакцией среды, равна массе тела, умноженной на ускорение: В более симметричном виде это равенство можно записать так:

где единичный тензор.

Тензор можно назвать тензором эффективной массы тела.

Уравнение (106.2) выражает равенство сторонней силы действующей на тело, произведению тензора эффективной массы на вектор ускорения тела; (106.2) есть обобщение второго закона Ньютона на тела, погруженные в жидкость: реакция среды приводит к тому, что эффективная масса приобретает тензорный

характер. Для погруженной сферы эффективную массу можно по-прежнему рассматривать как скаляр.

Если плотность тела равна плотности среды, то сторонняя сила, сообщающая телу данное ускорение, равна

где объем тела. Но в этом случае можно считать, что сила приложена прямо к среде, и следовательно, есть сила диполя Отсюда следует, согласно (102.7), что в среде создастся излучение

Теперь решим обратную задачу: найдем движение, совершаемое данным телом под действием заданной сторонней силы. Воспользовавшись (106.4), мы сможем после этого решить и задачу об излучении, создаваемом телом под действием данной сторонней силы.

Итак, пусть на данное тело действует сторонняя сила Неизвестные компоненты ускорения тела под действием этой силы найдем из уравнений (106.2). В тензорных обозначениях решения этих уравнений записываются очень просто при помощи тензора обратного тензору эффективной массы. Этот обратный тензор определяется соотношениями

Умножая уравнение (106.2) на найдем неизвестные ускорения в виде

Отсюда, согласно (106.3), найдем силу диполя

Наконец, подставляя в (106.4), найдем и излучаемое поле:

Пользуясь (106.5) и (106.6), можно переписать выражение для силы диполя так, чтобы рольразличия в массе тела и массе вытесняемой им жидкостивыступилаболее наглядно. Действительно,

и окончательно

или в векторной форме

Полученные формулы решают все поставленные задачи до конца, за исключением одного пункта: как же найти тензор присоединенных масс для тела данной формы? Общего ответа на этот вопрос дать нельзя. В этом и заключается смысл сделанной выше оговорки о частичном решении поставленной задачи. Для некоторых простейших форм тела — сферы, эллипсоида, тонкого аналитические выражения для компонент тензора получить удается, но для любой формы тела задачу решить можно только приближенно, при помощи численных методов, либо экспериментально, определяя ускорение тела, погруженного в данную среду, при воздействии известной силы.

Из полученных формул следует, что векторы сторонней силы, силы диполя и ускорения тела вообще не совпадают по направлению. Из (106.9) или (106.10) видно, что при равенстве массы тела массе вытесняемой им жидкости сила диполя совпадает со сторонней силой; но даже в этом случае ускорение тела вообще направлено не по оси диполя. В общем случае произвольной [формы и любой массы тела все три вектора совпадают по направлению только для трех взаимно перпендикулярных направлений действия сторонней силы — главных направлений тензора присоединенных масс. Для этих направлений (обозначим соответственные оси через отличны от нуля только диагональные компоненты тензора присоединенных масс; будем обозначать их соответственно

Относя движение к главным направлениям, легко составить себе наглядное представление о движении тела и об излучении им звука при различных соотношениях между плотностями тела и среды и при различной форме тела. По отношению к главным осям тензор также делается диагональным и соответственные компоненты равны

Компоненты вектора ускорениявыразятся в этой системе координат формулами

Компоненты силы диполя выразятся формулами

Для тела очень большой массы по сравнению с массой вытесненного объема и компонентами тензора присоединенных масс

направления ускорения тела и силы диполя близки к направлению сторонней силы. Чем больше масса тела, тем при данной сторонней силе меньше сила диполя, а значит, и мощность излучения. Если масса тела и, больше массы вытесненного объема среды то сторонняя сила заданной величины создаст наибольшее излучение, если она действует вдоль оси, соответствующей наибольшей из величин В обратном случае излучение наибольшее для оси, соответствующей наименьшей из этих величин.

Особенно интересен случай очень легкого тела, когда его массой можно пренебречь по сравнению с массой вытесненной среды и с компонентами тензора присоединенных масс. Тогда

Если главная компонента тензора присоединенных масс для данного направления мала по сравнению с массой вытесненной среды (например, компонента для продольной оси тела в виде иголки), то сила диполя много больше сторонней силы и создаст излучение, большое по сравнению с излучением, создаваемым той же сторонней силой, приложенной непосредственно к среде. Так, для удлиненного эллипсоида вращения с отношением осей главные компоненты тензора присоединенных масс равны приблизительно Если масса эллипсоида равна нулю, то данная сторонняя сила, приложенная к нему вдоль большой оси, создаст излучение по амплитуде примерно в 24 раза большее, чем при приложении силы в перпендикулярном направлении. По сравнению с силой, приложенной к эллипсоиду с той же плотностью, что и среда, выигрыш в амплитуде для большой оси — в 48,6 раза и для малой оси — в 2,04 раза (по мощности излучения выигрыши соответственно в 2300 раз и в 4 раза).

При приложении данной силы к безмассовой сфере амплитуда излучаемого поля увеличится в 3 раза (по сравнению с приложением силы непосредственно к среде), а значит, мощность излучения — в 9 раз.

Напомним в заключение, что при сила диполя совпадает со сторонней силой и ось диполя направлена вдоль сторонней силы. Скорость же тела и при этом условии имеет вообще другое направление, если только сторонняя сила не совпадает с одной из главных осей тензора присоединенных масс.