§ 86. Сферически-симметричные колебания сферического объема жидкости

Рассмотрим сферический сосуд, заполненный жидкостью или газом. Среда в сосуде может совершать различные свободные гармонические сферически-симметричные колебания. Найдем все такие колебания. Стенку сосуда будем считать непроницаемой для звуковых волн (чисто мнимый импеданс стенки). Тогда колебание будет представлять собой стоячую волну. Поскольку давление во всем сосуде должно оставаться конечным, волна должна иметь вид

Значение а следовательно, и частота колебаний найдутся из граничного условия на стенке сосуда: отношение давления в волне к скорости частиц должно равняться входному импедансу стенки сосуда. Из (85.3) и (85.4) найдем, что граничное условие имеет вид

где радиус сосуда, или, в более компактном виде,

Так как импеданс стенки в общем случае зависит от частоты, то можно считать, что правая часть, как и левая, есть функция и рассматривать последнее уравнение как (трансцендентное) уравнение частот с неизвестной Решения образуют бесконечный дискретный набор значений соответствующий такому же бесконечному дискретному набору собственных частот сферически-симметричных колебаний среды в сосуде. График функции (86.1) дан на рис. 86.1. Если известна частотная зависимость импеданса стенки сосуда, то по этому графику можно определять собственные значения величины

Рассмотрим некоторые простейшие случаи.

Пусть т. е. граница колеблющегося сферического объема жидкости свободна (вибрации капли). Тогда, как видно из (86.1), собственные значения образуют гармонический ряд На собственной частоте на диаметре капли укладывается,

таким образом, целое число длин волн. Резонансные частоты равны, следовательно, Для самого низкочастотного колебания как давление, так и скорость сохраняют свой знак во всем объеме сферы. Радиальное распределение амплитуд этих величин показано на рис. 86. 2. Сами эти величины по фазе сдвинуты друг относительно друга на четверть периода.

Рис. 86.1. График функции В интервале значений от 0 до примерно 4,49 функция принимает все значения от Следовательно, при любом импедансе границы в этом диапазоне значений имеется значение, соответствующее собственной частоте. Низкие частоты отвечают массовому импедансу, а высокие -упругому импедансу. Пунктиром показано для примера определение двух низших значений для стенки массового типа с поверхностной плотностью

Интересно, что амплитуда скорости частиц на поверхности сферы не максимальна: в самом деле, если, например, в выражения

положить где рассмотреть скорость вблизи границы для первого колебания, то приближенно

Отсюда видно, что амплитуда колебаний [растет от конца радиуса к центру. Так как в центре она равна нулю, а знак скорости сохраняется на всем радиусе, тоясно, что в некоторой точке амплитуда достигает максимума. Уравнение для радиуса, соответствующего максимуму скорости, найдем, приравнивая нулю производную скорости частиц по что дает Это соответствует радиусу . Скорость на поверхности сферы составляет 0,725 от максимального значения скорости.

Для абсолютно жесткой стенки уравнение (86.1) примет вид Решения этого уравнения приближенно равны

Уже для первого колебания приближенное значение отличается от точного менее чем на погрешность для более высоких номеров еще меньше.

Рис. 86.2. Сплошными линиями показано распределение вдоль радиуса амплитуд давлений и скорости частиц для первого нормального колебания свободного сферического объема жидкости Пунктир достраивает эти распределения до кривых, соответствующих сферическому объему жидкости в абсолютно жесткой оболочке.

Наинизшая частота собственного колебания для жесткой границы выше, чем частота для свободной границы при том же радиусе. На рис. 86.2 показано соответственное распределение давлений и скоростей частиц по радиусу.