§ 56. Отражение гармонических волн и импульса при закритических углах скольжения. Полное отражение

При отражение при закритических углах не может быть правильным, так как компонента вектора медленности вдоль - границы не может превосходить самого вектора. Но для гармонических волн этого ограничения нет: мы видели в § 32, что можно взять одну из компонент волнового вектора сколь угодно большой при условии, что вторая компонента чисто мнимая и сумма квадратов компонент по-прежнему равна квадрату волнового числа. Таким образом, для гармонических волн условию Снеллиуса можно удовлетворить при любом угле скольжения падающей волны. При закритических углах нормальная компонента волнового вектора прошедшей волны — мнимое число: прошедшая волна — неоднородная, бегущая вдоль границы и экспоненциально убывающая при удалении от нее.

Полученные выше формулы Френеля можно применять для гармонических волн и при закритических углах скольжения; при этом коэффициенты отражения и прохождения окажутся комплексными.

При закритическом угле скольжения 0 падающей волны прошедшая волна имеет вид

Формулы Френеля принимают вид

где корень вещественный. При закритическом угле отражение полное: модуль коэффициента отражения равен единице. Прошедшая волна не уносит энергию от границы, хотя, конечно, плотность энергии во второй среде нулю не равна.

Фаза коэффициента отражения равна

и изменяется от 0 до при уменьшении угла скольжения падающей волны от до 0°.

Коэффициент отражения изменяется при этом от описывая на плоскости комплексных значений V полуокружность единичного радиуса (рис. 56.1). Фаза коэффициента прохождения равна Коэффициент прохождения изменяется в том же диапазоне углов от 2 до 0.

Рис. 56.1. Годограф коэффициента отражения от границы двух сред при .

Фаза коэффициента отражения при данном закритическом угле одинакова для любой частоты падающей гармонической волны. Эта добавочная фаза равносильна уменьшению длины пробега отраженной волны в среде на величину различную для волн разных частот. Можно сказать, что отражение при закритическом угле скольжения падающей волны сопровождается «сосредоточенной» (на границе) дисперсией. Поэтому при падении негармонической плоской волны под закритическим углом скольжения форма волны в результате отражения изменится. Но отражение и в этом случае полное и энергия не перетекает во вторую среду.

Для границы воздух—вода полное отражение начинается с при меньших углах скольжения падающая волна отражается целиком.

Если вторая среда несжимаемая, то любой угол скольжения, кроме 90°, закритический, и коэффициенты отражения и прохождения равны

Прошедшая волна при этом всегда неоднородная:

При отражении от несжимаемой среды при угле скольжения, отличном от прямого, любая волна, кроме гармонической, изменяет свою форму. При нормальном падении такая среда, как уже говорилось, эквивалентна абсолютно жесткой стенке и любая волна отражается от нее без изменения формы с коэффициентом отражения, равным единице.

Для того чтобы найти, как меняется форма несинусоидальной волны при отражении от границы под закритическим углом скольжения, разложим падающую волну по Фурье и, отразив каждую гармоническую компоненту в отдельности по формуле Френеля, сложим полученные отраженные волны. Разложение по Фурье вещественной волны включает как положительные, так и отрицательные частоты. Но для отрицательных частот коэффициент отражения следует брать комплексно сопряженным по отношению к коэффициенту отражения для положительных частот. Поэтому коэффициенты отражения для разных гармонических компонент различны: один коэффициент для всех компонент с положительными частотами и другой — комплексно-сопряженный — для компонент с отрицательными частотами. Если бы коэффициент отражения был одинаков и для положительных и для отрицательных частот, форма волны при отражении не изменилась бы; это и имеет место при докритических углах.

Итак, пусть угол скольжения волны меньше критического угла. Вводя обозначение и разлагая падающую волну в интеграл Фурье, имеем

где

Каждая элементарная волна отразится от границы со своим коэффициентом отражения. Для элементов с положительными частотами отраженная волна получится путем умножения на общий для них всех коэффициент отражения

с последующей заменой аргумента на аргумент

Для элементов с отрицательными частотами

различие только в том, что в качестве коэффициента отражения следует взять сопряженное значение:

Итак, при отраженные элементы интеграла будут иметь вид а при - вид

Отраженная волна запишется, таким образом, в виде

Это выражение можно переписать так:

Здесь первое слагаемое — правильное отражение падающей волны с коэффициентом отражения Второе слагаемое имеет тот же амплитудный спектр, но коэффициент отражения равен для части спектра с и равен для части спектра с . Второе слагаемое, а вместе с тем и все отражение, имеет поэтому другую форму, чем падающая волна. В частности, отраженная волна появляется в данной точке границы раньше, чем туда доходит падающий импульс, чего не могло быть при докритических углах скольжения. Разумеется, это — не нарушение принципа причинности, так как скорость звука во второй среде больше скорости звука в первой и возмущение, пробегая во второй среде, опережает возмущение, проходящее в первой, и, выходя снова в первую среду, появляется до прихода падающей волны.

Проведенное выше разбиение отраженной волны на два слагаемых — правильное и неправильное отражение — совершенно условно. Можно было бы считать, что в данном поле имеется любое по амплитуде правильное слагаемое, точно так же, как любое число можно разложить на два слагаемых, выбирая одно из них произвольно. Но выбранное разбиение удобно, так как дает простые выражения для слагаемых через вещественную и мнимую части коэффициента отражения и через спектр падающей волны.