§ 50. Отражение негармонических волн

От препятствий, проводимость которых зависит от частоты, негармонические волны отражаются неправильно. В этом случае отраженную волну будем искать при помощи метода Фурье. Для этого падающую волну

разложим в интеграл Фурье:

где спектральная плотность определится по формуле

Волны, соответствующие элементам интеграла

испытают правильное отражение и превратятся в отраженные волны вида

где значение коэффициента отражения для гармонической волны частоты . Согласно сказанному в § 22 . Искомая отраженная волна найдется путем интегрирования по частоте всех элементарных отраженных волн:

Заметим, что частотная зависимость коэффициента отражения от реальных препятствий не может быть произвольной. В самом деле, если передний фронт падающей волны еще не дошел до препятствия, то формула (50.4) должна давать нулевые значения для всех моментов времени, пока передний фронт волны, отразившись от препятствия, не достигнет данной точки, т. е. пока фронт не пробежит расстояние до препятствия плюс расстояние от препятствия до данной точки. Например, невозможна частотная зависимость коэффициента отражения вида т. е. неосуществимо препятствие, отражающее волны только одной-единственной частоты и поглощающее или пропускающее все остальные гармонические волны. В самом деле, в этом случае окажется, что при отраженная волна будет отлична от нуля во всех точках и во все моменты времени, т. е. отраженная волна появится до того, как падающая волна упадет на препятствие; что противоречит принципу причинности. Невозможен также коэффициент отражения вида в этом случае принцип причинности окажется нарушенным для падающей волны, имеющей вид короткого импульса.

Если известна частотная зависимость проводимости данного препятствия: , то формулу (50.4) можно переписать в виде

или через импеданс

В качестве иллюстрации рассмотрим препятствие в виде сосредоточенной массы с поверхностной плотностью импеданс которого равен При отрицательных частотах как и следует, обращается в комплексно-сопряженную величину:

Волна, отраженная от такого препятствия, имеет вид

Здесь введено обозначение

Возьмем для примера в качестве падающей волны экспоненциальный импульс:

Если препятствие расположено в точке то передний фронт этого импульса достигнет препятствия в момент времени Спектр импульса имеет вид так что отраженная волна (50.5) принимает для данного случая вид

Интеграл в данном случае легко вычислить методом вычетов. Заметим раньше всего, что при <С 0 (моменты времени до прихода отраженной волны) в верхней плоскости комплексного переменного со подынтегральное выражение экспоненциально стремится к нулю при уходе на бесконечность. Поэтому путь интегрирования в (50.6) — действительную ось — можно замкнуть в верхней полуплоскости полуокружностью бесконечно большого радиуса. Но в верхней полуплоскости подынтегральное выражение не имеет полюсов; следовательно, интеграл равен нулю, что и следовало ожидать согласно принципу причинности. При замыкание контура интегрирования можно провести в нижней полуплоскости. Но на нижней полуплоскости подынтегральное выражение имеет полюсы; следовательно, интеграл равен сумме вычетов в этих полюсах.

При на нижней полуплоскости имеются два простых полюса в точках и и интеграл оказывается равным

При находим либо непосредственно из (50.6), либо предельным переходом из (50.7):

На рис. 50.1 дан профиль падающей волны и профили отраженных волн, рассчитанные по формулам (50.7) и (50.8) для случаев . Форма волны при отражении меняется. Легко убедиться непосредственным подсчетом, что суммарная энергия отраженной волны равна суммарной энергии падающей волны при любом значении

Рис. 50.1. Изменение формы профиля при отражении экспоненциального нмпульса (пунктир) от сосредоточенной массы разной величины. 1 — отражение от «легкой» стеики, 2 — промежуточный случай, 3 — отражение от «тяжелой» стенки.

Ясно, что такое соотношение всегда будет выполнено при любом чисто мнимом («реактивном») входном импедансе препятствия, когда модуль коэффициента отражения для любой частоты равен единице и спектр отраженной волны отличается от спектра падающей только фазами компонент, что не влияет на энергию волны.