§ 138. Однородные деформации. Различные модули упругости

При однородной деформации напряженное состояние среды одинаково во всех точках тела: тензор напряжений не зависит от координат. Однородная деформация — это статическая деформация, так как на каждую частицу со стороны соседних действуют одинаковые противоположно направленные силы, и поэтому равнодействующая напряжений, действующих на частицу, равна шулю.

Если деформация неоднородна, но меняется от точки к точке непрерывно, то для вычисления напряжений в малой окрестности данной точки деформацию можно считать однородной и учитывать неоднородность только при вычислении силы, действующей на элементарный объем. Важнейшие типы однородных деформаций — всестороннее сжатие, чистый сдвиг, растяжение вдоль одной оси.

Всесторонним растяжением (или всесторонним сжатием — в зависимости от знака деформации) называют деформацию, при которой удлинение одинаково по всем трем осям, а сдвиговые деформации равны нулю:

Подставляя в уравнение (136.1), найдем

Отличны от нуля только нормальные напряжения. Величину

называют модулем всестороннего сжатия или объемным модулем упругости. Формулу (138.1) можно записать также в виде

В этом виде формула справедлива и для любой неоднородной деформации, что легко видеть, свертывая (136.1) по индексам и Таким образом, среднее значение трех нормальных напряжений зависит только от дивергенции смещения, или, что то же, от сжатия среды.

Деформацией чистого сдвига в плоскости называют деформацию, при которой отличны от нуля только компоненты тензора деформации. Из (136.1) найдем, что в этом случае отличными от нуля будут только напряжения

Таким образом, второй коэффициент Ламе имеет физический смысл модуля сдвига. При обращении в нуль твердое тело обращается в жидкость с сжимаемостью

Деформацией растяжения вдоль оси называют такую деформацию, при которой отлична от нуля только компонента тензора деформаций (такого типа деформация, но не однородная, а меняющаяся вдоль оси возникает в плоской волне, бегущей, вдоль оси Из (136.1) найдем в этом случае

Нормальное напряжение достигает наибольшего значения вдоль направления растяжения, а наименьшего — в перпендикулярном направлении. Для жидкости, испытывающей ту же деформацию, оба напряжения были бы равны друг другу.

Величину

называют упругим модулем плоской волны. Как и всякая деформация, не сводящаяся к всестороннему сжатию, растяжение вдоль одной оси связано со сдвигом. Однако при данном выборе координатных осей (главные оси) сдвиговые компонейты тензоров деформации и напряжения равны нулю.

Часто приходится иметь дело с ограниченными твердыми телами, например цилиндрическими стержнями и пластинами. Растяжение таких ограниченных участков сред происходит иначе, чем растяжение сплошной среды. Рассмотрим однородное растяжение вдоль оси стержня со свободной боковой поверхностью. Направим ось по оси стержня. Единственной отличной от нуля компонентой напряжения будет так как на боковых стенках стержня напряжения должны обращаться в нуль, а в силу однородности деформации компоненты тензора напряжений постоянны по всему телу.

В этом случае из уравнения (136.1) найдем

откуда получим

и, подставляя в первое уравнение,

Величину

называют коэффициентом Пуассона. Согласно (138.4) он дает отношение поперечного изменения размеров («пуассоново сжатие») к продольному при сжатии или растяжении стержня. Величину

называют модулем Юнга для стержня.

Пользуясь величинами получим из (136.3) следующие выражения деформации растяжения по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям через нормальные напряжения по. этим направлениям:

Так как в закон Гука входят только две независимые характеристики вещества, то между тремя различными модулями упругости К, и Е должна быть линейная зависимость, а коэффициент Пуассона можно выразить через любые два различных модуля упругости. Соответственные формулы можно записать так:

Из повседневного опыта ясно, что объемный модуль упругости и модуль сдвига — не отрицательные числа: тела «сопротивляются» деформации, а не «способствуют» ей. Поэтому из (138.10) следует, что для любого тела должно находиться в пределах от —1 (при

до Отрицательные значения коэффициента Пуассона для реальных сред не встречаются, так что фактически всегда выполняются неравенства

Отсюда, в частности, следует, что и коэффициент Ламе также всегда положителен; предельный случай соответствует , т. е. переходу от твердого тела к жидкости. Вещества с модулем сдвига, малым по сравнению с модулем всестороннего сжатия, называют водоподобными. Примеры водоподобных тел — резины, мягкие пластмассы, мягкие живые ткани. Для водоподобных тел справедливы приближенные соотношения

Коэффициент Пуассона, близкий к нулю, имеет пробка: при растяжении и сжатии куска пробки поперечные размеры куска практически не меняются. Это позволяет использовать для закупоривания бутылок цилиндрические пробки. Пробки из резины, для которой коэффициент Пуассона близок к 1/2, приходится делать коническими: цилиндрическая резиновая пробка может оказаться самотормозящимся устройством, и ее будет невозможно продвинуть в горлышко бутылки.

Можно выразить все модули упругости через какой-нибудь один из модулей и через коэффициент Пуассона. Так, из полученных выше формул найдем

Отсюда видно, в частности, что все модули упругости всегда положительны и имеют место неравенства:

Случай растяжения бесконечной пластины — промежуточный между растяжением стержня и продольным растяжением в безграничной среде. Пусть пластина лежит в плоскости и растягивается вдоль оси Тогда растяжение по оси отсутствует: кроме того, нормальное напряжение вдоль оси равно нулю: Пользуясь (136.1), находим

Из второгв из этих уравнений находим уравнение, аналогичное

т. е. коэффициент поперечного сжатия пластины по толщине (его можно назвать коэффициентом Пуассона для пластины равен

Подставляя найденное значение в формулу для найдем формулу, аналогичную (138.5):

Величину

называют модулем Юнга для пластины. Очевидно,

Модуль Юнга для пластины всегда превышает модуль Юнга для стержня. Это вызвано тем, что в пластине частицы не могут смещаться по оси как в стержне. Легко видеть, что модуль плоской волны больше обоих модулей Юнга. Полезно заметить формулы

Величина для всех веществ лежит в пределах принимая значение, близкое к единице, для водоподобных сред. Для таких сред приближенно