§ 7. Изгибные волны на стержне

Более сложный случай — изгибные волны на упругом стержне. Напомним, что понятие изгибных волн само по себе есть некоторая аппроксимация, предполагающая, что все поперечные сечения стержня остаются при изгибе плоскими, а средняя линия остается нерастянутой. Тогда, как известно, взаимодействие элементов стержня сводится к перерезывающим силам действующим перпендикулярно к средней линии, и изгибающим моментам М, перпендикулярным к плоскости изгиба. Эти величины связаны соотношением

где длина дуги средней линии стержня. Такая аппроксимация требует только малости высоты поперечного сечения стержня по сравнению с радиусом кривизны профиля, т. е. малости деформаций материала стержня, но нисколько не ограничивает ни величину смещений точек стержня от положений равновесия, ни углы наклона профиля к невозмущенной оси стержня, т. е. не ограничивает форму средней линии в целом.

Как и для струны, «остановим движение» и найдем условие неизменности профиля. Мы увидим сейчас, что «остановить» удается только профили, продолжающиеся периодически неограниченно по всему стержню. В таких волнах нет невозмущенных участков стержня. Поэтому нужно будет различать искомую скорость с подвижной системы относительно центра тяжести стержня и скорость протекания среды по «остановленному» профилю.

Найдем сначала скорость протекания Как и для струны, результирующая сила, действующая на элемент стержня равна и совпадает по направлению с нормалью к профилю волны в данной точке (ограничимся волнами, оставляющими среднюю

линию стержня в одной плоскости). Равнодействующая сил, действующих на данный элемент стержня, образована разностью перерезывающих сил наконцах элемента. Она равна

и также направлена по нормали к профилю. Но, как известно, изгибающий момент пропорционален кривизне стержня: где изгибная жесткость стержня — величина, зависящая от упругих свойств материала стержня и от размеров и формы его поперечного сечения. Следовательно, условие неизменности профиля волны выражается уравнением

В отличие от соответственного условия для струны, оно удовлетворяется не при всякой форме профиля: его можно рассматривать как уравнение для кривизны профиля тех волн, которые распространяются без изменения формы; скорость протекания среды через остановленный профиль есть произвольный параметр задачи.

Выбирая удобным образом начало отсчета дуг, можем записать общее решение уравнения (7.1) в виде

где

а произвольная величина - амплитуда кривизны профиля. Зависимость кривизны от длины дуги средней линии стержня оказывается, таким образом, синусоидой с волновым числом, пропорциональным скорости протекания.

Угол наклона стержня к оси х выразится формулой

где амплитуда угла наклона равна На рис. 7.1 построены по формуле (7.4) профили волн с одной и той же скоростью протекания (а значит, и с одинаковыми длинами волн), но с различными амплитудами угла наклона. Числа означают амплитуду угла наклона в радианах.

Из (5.2) и (7.3) следует, что частота изменения кривизны для каждого элемента стержня равна Отсюда следует, что скорость протекания связана с волновым числом и с частотой формулами

Скорость с перемещения профиля относительно неподвижной системы координат зависит как от длины волны так и от

амплитуды В самом деле, при протекании участка стержня длиной в одну длину волны X смещение центра тяжести этого участка в направлении оси х равно согласно (7.4)

Таким образом, ясно, что скорость центра тяжести участка стержня относительно неподвижного профиля (а следовательно, и искомая скорость профиля с) равна

Здесь бесселева функция нулевого порядка от амплитуды угла поворота стержня

Рис. 7.1. Отрезки профиля поперечных смещений неизменных воли с одной и той же скоростью протекания и, но с различными амплитудами угла наклона. Для каждого угла наклона изображен отрезок профиля в одну длину волиы. Участок оси абсцисс между концами витка пропорционален скорости с данной волны относительно неподвижной системы координат.

Итак, изгибные волны обладают дисперсией: скорость изгибных волн растет с уменьшением длины волны. Такую дисперсию называют аномальной; нормальной дисперсией считается рост скорости вместе с ростом длины волны. Эти термины заимствованы из оптики: обычно в прозрачных средах скорость световых волн растет с длиной волны.

На рис. 7.1 длина участка оси абсцисс, соответствующего одному витку, отнесенная к длине волны, равна отношению Скорость с для волн равна нулю; скорость для волн относительно неподвижной системы координат направлена, в отличие от остальных профилей, влево. В системе координат, в которой профили неподвижны, перетекание происходит из нижнего витка в верхний и обратно.

Форма профиля и законы движения точек стержня в декартовых координатах х, у имеют очень сложный и мало наглядный вид. Упрощение получается только для малой амплитуды углов наклона профиля: Тогда бесселева функция близка к единице, так что можно считать скорость протекания и скорость профиля относительно неподвижной системы координат равными. Кроме того, при можно положить поперечное смещение стержня), совершая ошибку, не большую чем по сравнению с единицей. Тогда уравнение (7.2) можно записать в виде

Дважды интегрируя по х, найдем форму неподвижного профиля в декартовых координатах в виде

В неподвижной системе координат волна имеет, следовательно, вид

где связаны уравнением