§ 43. Отражение и прохождение звука на границе двух сред

Пусть плоская волна падает нормально на плоскую границу между двумя однородными средами. В первой среде возникает отраженная волна а во второй — прошедшая

Мы увидим сейчас, непосредственно произведя расчет, что отражение и прохождение всегда правильные. Отраженную и прошедшую волны можно записать в виде

где определяются свойствами сред и не зависят от формы волны. Для гармонических волн падающую, отраженную и

прошедшую волны можно записать в виде

Величины коэффициента отражения V и коэффициента прохождения нужно подобрать так, чтобы были удовлетворены граничные условия. Граничных условий два: равенство давлений и равенство скоростей частиц по обе стороны границы. Со стороны первой среды берется суммарное поле падающей и отраженной волны, со стороны второй — поле прошедшей волны.

Условие равенства давлений по обе стороны границы, или, что то же, непрерывность давления при переходе через границу, реально выполняется всегда. Нарушение этого условия вызвало бы бесконечное ускорение границы, так как сколь угодно тонкий слой сколь угодно малой массы, включающий внутри себя границу, находился бы тогда под действием конечной разности давлений по обеим сторонам слоя. В результате разность давлений выравнялась бы мгновенно.

Условие равенства скоростей выражает неразрывность среды на границе: среды не должны отдаляться друг от друга или проникать взаимно друг в друга. Это требование может на практике оказаться нарушенным, например, при кавитации, когда внутри жидкости образуются разрывы (разрывы возникают легче на границе двух сред, чем внутри одной среды). Будем считать, что нарушения граничных условий не происходит. В противном случае нижеследующий расчет неприменим, а отражение и прохождение окажутся неправильными.

Скорости частиц в падающей, отраженной и прошедшей волнах даются формулами

Граничные условия можно написать так:

Подставляя сюда соответственные выражения для давлений и скоростей частиц, найдем, сокращая на

Число граничных условий равно числу возникающих (помимо падающей) волн — отраженной и прошедшей, так что, подбирая соответственным образом оставшиеся пока неопределенными множители всегда можно удовлетворить обоим граничным условиям, причем единственным образом. И это правило общее. В других акустических задачах число граничных условий может оказаться другим. Тогда возникнет и другое число волн, но оно снова равно числу граничных условий.

В исключительных случаях удается удовлетворить граничным условиям меньшим числом волн (например, коэффициент отражения может обратиться в нуль), но никогда не бывает, чтобы при данном числе граничных условий падающая волна вызывала бы возникновение большего числа различных волн: так как равным числом волн уже можно удовлетворять граничным условиям, то получилось бы, что при одной и той же падающей волне и одних и тех же препятствиях могут возникнуть различные волновые поля, а это противоречит принципу причинности.

Система (43.1) имеет единственное решение:

Это — так называемые формулы Френеля (для нормального падения). Мы видим, что коэффициенты отражения и прохождения зависят только от волновых сопротивлений сред, и если эти сопротивления равны для обеих сред, то для нормального падения плоской волны среды акустически неразличимы: отражение от границы отсутствует и волна проходит во вторую среду целиком, как если бы все пространство было заполнено только первой средой. Для такого полного прохождения вовсе не требуется, чтобы плотности обеих сред и скорости звука в них равнялись друг другу в отдельности, т. е. чтобы совпадали механические свойства сред: достаточно равенства произведений плотности на скорость звука.

В вопросах статики более жесткой средой естественно называть среду с меньшей сжимаемостью. Поведение таких сред ближе к поведению абсолютно жесткого тела, чем поведение сред с большей сжимаемостью. В акустике сжимаемость еще не определяет того, ведет ли себя данная среда по отношению к падающей на нее волне как податливая или как жесткая граница. В акустике следует сравнивать волновые сопротивления сред, т. е. отношения плотности к сжимаемости: та из двух сред жестче, для которой это отношение больше. Это обстоятельство снова подчеркивает своеобразие волновых задач сравнительно с задачами механики тел.

Меняя местами найдем коэффициенты отражения и прохождения и для волны, падающей из второй среды на границу с первой: абсолютная величина коэффициента отражения будет та же, что и при падении из первой среды, но знак его изменится на обратный. Коэффициент прохождения изменится в отношении волновых сопротивлений сред. По абсолютной величине коэффициент отражения всегда меньше единицы (что следует и прямо из закона сохранения энергии); он положителен, если волна падает из среды с меньшим волновым сопротивлением, и отрицателен в обратном случае. Коэффициент прохождения всегда положителен и не превосходит 2.

Таким образом, отраженная и прошедшая волны равны:

Давление и скорость на границе (безразлично, с какой стороны от границы) равны:

Отношение давления к скорости частиц на границе оказывается равным волновому сопротивлению второй среды Это можно было предвидеть, и не делая расчета, поскольку во второй среде имеется только бегущая волна.

Рис. 43.1. Зависимость коэффициента отражения от относительного волнового сопротивления сред . Для следует снять с графика значение для и считать коэффициент отражения положительным.

Из формул Френеля видно, что коэффициенты отражения и прохождения зависят не от самих значений волнового сопротивления сред, а от их отношения. Отношение волновых сопротивлений первой и второй среды называют относительным волновым сопротивлением. Формулы Френеля выражаются через относительное волновое сопротивление следующим образом:

Очевидно,

На рис. 43.1 дан график зависимости коэффициента отражения от . Согласно последним формулам можно обойтись участком графика для (где ). Значения коэффициента прохождения получаются прибавлением единицы к коэффициенту отражения. При коэффициент отражения равен нулю и волна, нормально падающая на границу раздела двух сред, проходит из первой среды во вторую целиком, не отражаясь. Картина в первой среде в этом случае такая, как если бы волна полностью поглощалась границей. В этом случае достаточно возникновения только одной волны (прошедшей), чтобы, совместно с падающей, удовлетворить обоим граничным условиям. При коэффициент отражения положителен и при стремится к единице. Значения поля на границе, отнесенные к полю в падающей волне, равны

Эти величины всегда положительны, и их полусумма равна единице. При очень малом (вторая среда акустически очень мягкая по сравнению с первой, как, например, при отражении подводного звука от поверхности моря) давление стремится к нулю,

а скорость частиц стремится к удвоенной скорости в падающей волне. При очень большом (например, отражение воздушного звука от поверхности моря) к нулю стремится скорость частиц на границе, а удваивается давление. Предельный переход к нулю и к бесконечности соответствует переходу к абсолютно мягкой и абсолютно жесткой границе.

Для иллюстрации сказанного приведем реальные (округленные) соотношения для прохождения звука из воздуха в воду и обратно при нормальном падении плоской волны. Для воды см/сек (морская вода), для воздуха . При падении звука из воздуха в воду При падении звука из воды в воздух . Отношение же потока энергии, проходящей через границу раздела, к потоку энергии в падающей волне составляет в обоих случаях 0,00114.

Таким образом, энергия передается из воды в воздух и обратно очень плохо, несмотря на то, что в первом случае давление в прошедшей волне практически удваивается по сравнению с падающей волной, а во втором случае удваивается скорость. Плохая передача звука из воды в воздух создала поговорку: «нем как рыба». В воздухе звуки, создаваемые рыбами, действительно обычно не слышны, но в воде «голоса» рыб и некоторых других морских животных настолько сильны, что иногда мешают действию подводной акустической аппаратуры.

Отношения медленностей звука во второй и в первой среде (обратное отношение скоростей звука) называют коэффициентом преломления второй среды относительно первой; будем обозначать это отношение через Отношение плотностей сред обозначим через Очевидно, Формулы Френеля выразятся через эти относительные величины так:

Формулы (43.3) приобретают особенно симметричный вид:

Свободную поверхность и абсолютно жесткую стенку можно рассматривать как границу двух сред при определенных предельных свойствах второй среды. Так, свободную поверхность можно рассматривать как предельный случай стремления к нулю плотности или скорости звука, что равносильно предельному переходу или Абсолютно жесткая поверхность явится предельным случаем для стремления к бесконечности плотности или скорости звука во второй среде, что равносильно предельному

переходу или Отметим, что второе условие соответствует переходу к абсолютно жесткой поверхности только для нормального падения волны; остальные три варианта предельных переходов дадут требуемые граничные условия и для наклонного падения (см. § 55).

Если скорости звука в обеих средах равны, то

При равных плотностях обеих сред

При малом различии волновых сопротивлений сред часто можно пользоваться приближенными выражениями для коэффициентов отражения и прохождения. Пусть, например, где . Тогда, как легко видеть из (43.4), с точностью до малых первого порядка относительно 8

Если близки друг к другу не только волновые сопротивления, но и плотности и скорости звука в обеих средах в отдельности: , где то

Приведем еще несколько видов записи формул Френеля. Через статические характеристики сред — плотность и сжимаемость — коэффициенты отражения и прохождения выражаются так:

При отражении от границы двух разных газов, находящихся при одинаковом давлении,

где отношение отношений теплоемкостей для обоих газов, отношение молекулярных весов газов.

При отражении от границы между двумя объемами одного и того же газа, находящимися при одинаковом давлении, но при разных абсолютных температурах (Т и Т),

Если разность температур мала, то

Теперь рассмотрим энергетические соотношения при отражении и прохождении волны. Так как отраженная волна имеет ту же форму, что и падающая, а знак на энергию не влияет, то для отношения плотности потока мощности в отраженной волне к плотности потока в падающей получаем

В силу закона сохранения энергии, отношение плотности потока в прошедшей волне к плотности потока в падающей должно равняться

Это легко проверить и непосредственно, подсчетом потоков мощности.

Плотность потока мощности падающей волны распределяется между отраженной и прошедшей волнами в отношении

При почти вся энергия отражается, и прошедшая энергия относится к падающей приблизительно как

При снова почти вся энергия отражается, и отношение равно

Напротив, если близко к единице, то почти вся энергия проходит во вторую среду, и отношение отраженной энергии к падающей оказывается равным приближенно

Все эти соотношения между долями отраженной и прошедшей энергии сохраняются, как уже было сказано, и при обращении падения волны — при падении из второй среды на первую.

На рис. 43.2 даны графики зависимости величин от . Сумма ординат кривых все время равна единице, что выражает закон сохранения энергии. Кривые расположены симметрично относительно прямой, проведенной параллельно оси абсцисс ординате 0,5. Энергия делится пополам между отраженной и прошедшей волнами при относительном волновом сопротивлений т. е. при , равном приближенно 5,83, и при .

В заключение этого параграфа выясним, как меняется частота гармонических волн при отражении и прохождении на границ? двух сред, движущейся относительно самих сред, остающихся

в покое. Примером такой акустической ситуации является отражение и прохождение волн на фронте ударной волны в газе, где акустические характеристики среды по обе стороны фронта различны. Другой пример распространение звука в стержне, наполовину погруженном в жидкость, при изменении уровня воды: на погруженном участке стержня акустические свойства стержня несколько изменяются в результате реакции окружающей среды, так что граница между участками с разными свойствами перемещается относительно среды вместе с уровнем.

Рис. 43.2. Зависимость от отношений отраженной и прошедшей энергии к падающей энергии.

Рассматриваемая задача вариант известного из общего курса физики вопроса о допплеровском сдвиге частоты — изменении частоты принимаемого звука при движении источника или приемника относительно среды. Напомним формулы для этого сдвига частоты для случая движения источника или приемника вдоль соединяющей их прямой. Обозначим частоту колебаний источника звука через , а скорость приемника или источника — через, (положительной будем считать скорость, увеличивающую расстояние между источником и приемником) Тогда, как легко получить из чисто кинематических соображений, при движении приемника принимаемая частота Окажется равной

а при движении источника звука — равной

Здесь через обозначено число Маха для движения источника или приемника звука. Различие в сдвиге частоты при одинаковой относительной скорости источника и приемника вызвано тем, что оба случая различные по отношению к абсолютной акустической системе координат (см § 1)

Для нахождения сдвигов частот при отражении и прохождении напишем граничные условия равенства давлений и скоростей частиц на движущейся границе для гармонической падающей волны считая пока неизвестными частоты отраженной и прошедшей волны:

где

Для того чтобы граничные условия оставались выполненными в любой момент времени, требуется, чтобы экспоненты тождественно равнялись друг другу для Выполняя эту подстановку, найдем

где числа Маха для движущейся границы относительно первой и относительно второй среды. На величине коэффициентов отражения и прохождения движение границы при неподвижности самих сред не сказывается.

Полученные формулы можно рассматривать как комбинации формул для движущихся источника и приемника: граница «принимает» колебания, причем частота меняется, как при движении приемника, а затем «переизлучает» эти колебания, что дает изменение частоты, как при движении источника. Это представление находится в соответствии с картиной вторичных волн Гюйгенса, также известной из общего курса физики.