§ 29. Пространственное спектральное разложение по плоским волнам
Теперь вернемся к вопросу о пространственном спектральном разложении волн. В § 24 мы упоминали, что если известно распределение поля гармонической сложной волны на какой-либо плоскости, то распространение этой волны удобно изучать, разлагая ее на суперпозицию гармонических плоских волн. Пусть на плоскости задано распределение давлений или нормальных скоростей частиц. Тргда, как известно из теории дифференциальных уравнений, в отсутствие волн, приходящих из бесконечности, поле в полупространстве, прилегающем к плоскости и не содержащем источников звука, определяется по заданному полю на границе единственным образом.
Отсутствие источников проверяется тем, что волновое уравнение удовлетворяется во всем полупространстве. Приход волн из бесконечности имеет следующие признаки: для плоских волн признаком прихода из бесконечности является отрицательность компоненты волнового вектора вдоль нормали к плоскости, обращенной внутрь данного полупространства. Для полей более сложной формы признаком наличия волн, приходящих из бесконечности, служит следующее: если в среде есть сколь угодно малое затухание, то для создания конечного поля на данной плоскости поле на бесконечности должно было бы быть бесконечным. Поэтому достаточно проверить, как будет вести себя на бесконечности поле, если, сохраняя поле на данной плоскости, ввести слабое затухание в среду. Это можно сделать, приписывая в выражениях для волн волновому числу малую положительную мнимую часть, что равносильно, как увидим в гл. XII, наличию малого затухания звука в среде. Если в результате этого амплитуда той или иной волны будет стремиться к бесконечности по мере удаления от плоскости, то такая волна будет приходящей.
Будем ниже рассматривать случай, когда приходящих волн нет. Поле в полупространстве можно тогда считать полем, излученным заданным распределением давлений или нормальных скоростей частиц на плоскости. Давления можно осуществить силами, перпендикулярными к плоскости и распределенными с требуемой плотностью. Нормальные скорости частиц можно создать, сообщая соответственные нормальные скорости точкам плоскости.
Схема нахождения поля в полупространстве в виде суперпозиции плоских волн такова. Пусть задано гармоническое поле на плоскости (давление или нормальная скорость) как некоторая функция двух координат. Разложим заданное распределение давления или нормальной скорости в двойной ряд (или интеграл) по Фурье. Компоненты разложения будут иметь вид (опускаем амплитуду) 
т. е. будут представлять собой двухмерные плоские волны одной и той же частоты, бегущие по плоскости 
с разными скоростями. Если удастся к каждой такой двухмерной волне пристроить уходящую от плоскости трехмерную волну (на это можно надеяться потому, что каждая трехмерная волна создает на плоскости двухмерную волну как свой след), то суперпозиция всех найденных уходящих волн будет иметь на плоскости заданное распределение давлений (или. Нормальных скоростей) и явится, в силу теоремы единственности, искомым разложением поля в полупространстве на плоские волны.
