§ 49. Препятствия в виде плоскопараллельных слоев

В одномерной задаче об отражении нормально падающей волны всякое препятствие можно рассматривать как плоскопараллельный слой или последовательность таких слоев. Для нахождения отражения достаточно знать проводимость препятствия или его импедане: коэффициент отражения получится по формуле (45.2) или (45.4). Найдем импеданс однородного слоя, нагруженного задней стенкой на заданный импеданс Решения этой задачи будет достаточно для нахождения импеданса любой последовательности слоев; в самом деле, достаточно будет найти импеданс последнего слоя последовательности, принять его за нагрузку предпоследнего слоя и т. д., вплоть до нахождения импеданса на передней стенке первого слоя.

В прошлых параграфах мы уже решали аналогичные простейшие задачи, но только приближенно, для слоев малой толщины по сравнению с длиной волны, считая механические свойства таких слоев «сосредоточенными». Теперь дадим точное решение задачи. Попутно получатся и границы применимости понятий о «сосредоточенных» массе и упругости.

Итак, пусть требуется найти импеданс нагруженного слоя толщины и пусть плотность и скорость звука в веществе слоя равны соответственно Из соображений симметрии ясно, что для данной частоты наиболее общий вид одномерного поля в слое есть (с точностью до произвольного множителя) суперпозиция двух плоских волн, бегущих друг другу навстречу:

Волну, бегущую в отрицательном направлении, можно считать отражением (коэффициент отражения V) от препятствия с импедансом волны, бегущей в положительном направлении. Считая, что начало координат расположено на задней стенке слоя» имеем

На передней стенке слоя, в точке давление равно

Скорость частиц в этой же точке выразится формулой

Деля одно равенство на другое, найдем искомый импеданс слоя с нагрузкой, а после элементарных переделок и соответственную проводимость

Импеданс и проводимость оказываются зависящими не только от вещества слоя и от нагрузки, но еще и от величины набега фазы волны данной частоты на толщине слоя. Таким образом, импеданс определяется интерференционной картиной внутри слоя. При увеличении толщины слоя значения импеданса будут повторяться с периодом изменения толщины слоя, равным половине длины волны. Если - чисто мнимое, то также чисто мнимое и при изменении толщины слоя будет изменяться по модулю от 0 (при до Для слоя толщиной в целое число полуволн формула (49.1) дает т. е. слой толщиной в полволны или в целое число полуволн не меняет импеданса нагрузки, а значит, коэффициент отражения от такого слоя будет таким же, как от нагрузки в отсутствие слоя.

Исследуем полученную формулу для импеданса и рассмотрим важнейшие частные случаи. Пусть задняя стенка слоя свободна: Импеданс и проводимость слоя будут равны (индекс символизирует величину импеданса или, соответственно, проводимости нагрузки):

Слой действует как «эффективная» сосредоточенная масса, распределенная с плотностью

где как и ранее, — фактическая поверхностная плотность слоя.

Пусть позади слоя жесткая стенка: Соответственные импеданс и проводимость будут равны

Слой действует как «эффективная» сосредоточенная упругость

где статический коэффициент упругости слоя.

Пользуясь этими формулами, нетрудно выразить импеданс и проводимость в общем случае (формулы (49.1)) через величины или через

В некоторых случаях выражения (49.4) можно упростить. Пусть, например, Тогда, пренебрегая в знаменателе в первой формул (49.4) величиной по сравнению с найдем приближенно

Рис. 49.1. Сравнение импедансов слоя конечной толщины (1) и сосредоточенной массы (2), равной полной массе слоя.

В этом случае импеданс нагрузки просто прибавляется к импедансу слоя в отсутствие нагрузки. Если, кроме того, толщина слоя мала по сравнению с длиной волны, , то приближенно Значит, слой можно считать сосредоточенной массой при выполнении двух условий: . Для аддитивности нагрузки достаточно первого условия.

Аналогично, если то в знаменателе второй формулы (49.4) можно пренебречь по сравнению с и приближенно принять

В этом случае проводимость нагрузки просто прибавляется к проводимости слоя, опертого на жесткую стенку. Если, кроме того, толщина слоя мала по сравнению с длиной волны, то приближенно и формула (49.6) примет вид (47.8). Значит, слой можно считать сосредоточенной упругостью при выполнении двух условий: Для аддитивности проводимостей достаточно первого условия.

Таким образом, для того чтобы данный слой можно было считать сосредоточенным, недостаточно, чтобы он был тонок по сравнению с длиной волны: важно еще, какова нагрузка на слой. При некоторых нагрузках тонкий слой можно считать сосредоточенным, а при других нет. Тонкий слой можно считать сосредоточенной массой, если импеданс нагрузки достаточно мал, и сосредоточенной упругостью, если импеданс нагрузки достаточно велик.

Вернемся к слою с нулевым импедансом нагрузки и сравним зависимость его импеданса от частоты с зависимостью импеданса сосредоточенной массы, равной массе данного слоя. В качестве гумента удобно взять величину пропорциональную частоте. На рис. 49.1 показаны графики величины для слоя и для сосредоточенной массы. Для слоя получается тангенсоида, для

сосредоточенной массы — прямая, вначале идущая весьма близко к тангенсоиде; расхождение достигает, например, 10%, только начиная с Импеданс слоя растет быстрее, чем импеданс сосредоточенной массы, равной массе слоя, т. е. быстрее чем частота, или, при фиксированной частоте, чем толщина слоя. При импеданс обращается в бесконечность и меняет знак, приобретая характер упругости. Далее импеданс уменьшается по модулю при увеличении частоты и обращается в нуль при После этого весь цикл изменений импеданса повторяется снова с периодом изменения равным .

График рис. 49.1 является, с точностью до вертикального масштаба, графиком проводимости (точнее говоря, графиком величины для слоя, опертого на жесткую стенку. Прямолинейный график даст проводимость сосредоточенной упругости для коэффициента упругости, равного Здесь также различие в проводимостях слоя и сосредоточенной упругости остается меньше 10%, пока величина не превосходит 0,515. При увеличении проводимость слоя растет, обращаясь в бесконечность при При дальнейшем увеличении проводимость меняет знак, приобретая массовый характер, уменьшается до нуля (при и далее весь цикл изменения проводимости повторяется с периодом .

Возвращаясь к задаче об отражении от слоя, найдем коэффициент отражения звука от нагруженного слоя в виде

где — плотность и скорость звука в среде перед слоем, из которой на слой падает волна. Аналогичную формулу для можно написать и, через проводимости:

Важный частный случай — слой, помещенный в среду. В этом случае нагрузка на слой равна и коэффициент отражения равен

или, после подстановки выражений (49.2) и (49.3) и простых преобразований,

где через обозначено отношение волновых сопротивлений вещества слоя и вещества среды.

По импедансу слоя можно найти только отраженную волну. Но в задаче о слое как препятствии интересно рассмотреть не только коэффициент отражения, но и прошедшую волну и волны, распространяющиеся внутри слоя. Поэтому заново рассмотрим всю задачу о падении волны на слой, помещенный в среду. Начало координат выберем теперь на передней границе слоя. Пусть падающая волна есть отраженная прошедшая и пусть внутри слоя бегут волны На границах слоя, т. е. в точках должны выполняться граничные условия: равенство давлений и скоростей частиц по обе стороны границы. Для границы найдем

Для границы найдем аналогично

Здесь для краткости через обозначен набег фазы в веществе слоя на толщине слоя. Из уравнений (49.10) находим

Из (49.11) получим

Подставляя сюда выражения (49.12) для и Я, получим уравнение для определения коэффициента отражения; решая его, найдем

(что, конечно, совпадает с (49.9)). Но мы можем найти амплитуды и других волн:

Возвращаясь к подробным обозначениям, можно переписать выражения для коэффициентов отражения и прохождения

следующим образом

Исследуем полученные формулы. При когда на толщине слоя укладывается целое число полуволн, коэффициент отражения обращается в нуль и волна проходит через слой полностью: Это кажется парадоксальным, особенно при большом различии волновых сопротивлений среды и вещества слоя. Согласно изложенной теории плоская волна частоты 1000 гц, падающая в воздухе нормально на стальную плиту толщиной должна пройти насквозь без отражения! В действительности, в полном согласии с интуицией, такое явление никогда не наблюдается. Причина этого делается понятной, если подробнее рассмотреть этот случай полного прохождения. При имеем и величины делаются равными Давление и скорость частиц в слое равны соответственно

При большом различии волновых сопротивлений в среде и в слое, т. е. при (как в примере со стальной плитой в воздухе, когда или при (как было бы, например, при полном прохождении звука из стального полупространства в стальное полупространство через воздушный слой толщиной в полволны: поле в слое близко к стоячей волне с узлами давления или скорости на границах слоя. Амплитуда этих колебаний (давления — в первом случае и скорости частиц — во втором) весьма велика по сравнению с соответственными величинами в падающей волне: это резонансное колебание слоя.

Показательно сравнение плотности энергии в таком полуволновом слое с плотностью энергии в падающей волне. В падающей волне единичной амплитуды плотность энергии есть

сжимаемость среды). Внутри слоя плотность энергии равна сумме плотностей энергии волны амплитуды бегущей вперед, и волны амплитуды бегущей в противоположном направлении. При резонансе, т. е. при плотность энергии равна

( — сжимаемость материала слоя). Отношение плотностей энергии внутри и вне слоя составляет

Для стального полуволнового слоя в воздухе это отношение превышает 3000. Для полуволнового воздушного слоя между двумя стальными полупространствами это отношение превысило бы миллион. Таким образом, полное прохождение через полуволновую пластину соответствует весьма острому резонансу и малые отклонения по частоте сразу сильно уменьшат пропускание. В самом деле, при , где находим из (49.13) с точностью до

Отсюда следует, что требуемое для получения данного (по модулю) коэффициента отражения относительное изменение частоты составит

соответственно для случаев . Для стальной пластины в воздухе толщиной в полволны достаточно изменить частоту менее чем на 1/100 000 долю (в нашем примере на 1/100 гц) или изменить в том же отношении толщину пластины (в нашем примере на 28 микрон), чтобы прошла лишь половинная энергия колебания, а вторая половина отразилась ). Для того чтобы отразилось 99% падающей энергии, достаточно изменить частоту на 1/10 000 долю (0,1 гц) или изменить толщину всего на четверть миллиметра. Наконец, при наличии затухания в материале слоя снова появляется отражение, и полное прохождение получить нельзя. Например, если бы угол потерь в стали составлял всего 1/100 000 (при этом волна, распространяющаяся в неограниченной среде, затухала бы в раз, лишь пробежав расстояние в полмиллиона длин волн), в нашем примере отразилась бы уже половина падающей энергии.

Эти числа приведены только для иллюстрации: действительные условия всегда еще больше отличаются от идеальных, и поэтому при большом различии волновых сопротивлений среды и слоя коэффициент отражения по модулю практически всегда равен единице.

При отношении волновых сопротивлений порядка нескольких единиц или десятков расчетные условия достаточно выдерживать более грубо, избирательное пропускание выражено отчетливо и полуволновую пластинку или пластинку толщиной в целое

число полуволн можно использовать как монохроматор. Например, для (что примерно соответствует стальной пластинке в воде) ширина линии пропускания для полуволновой пластинки составит примерно 4% от частоты полного пропускания. Волны с частотами, отличающимися меньше чем на 2% от частоты полного пропускания, проходят с амплитудами, не меньшими 0,7 от амплитуды падающей волны. Для пластинки толщиной в целую длину волны ширина пропускания составит только 2% и т. д. Монохроматизация усиливается при увеличении числа полуволн, укладывающихся на толщине слоя.

Заметим, что полуволновой слой обычно не используют как монохроматор по частотам, так как на ультразвуковых частотах, для которых только и возможно практически создать в среде плоские волны, излучатели дают сами по себе весьма узкополосное излучение. Но, как увидим в § 60, слой может выделять волны по направлениям, так что при фиксированной частоте через данный слой будут проходить только плоские волны, близкие к одному определенному направлению. Поэтому такой слой используют как монохроматор гармонических волн по направлениям волновых векторов.

Вернемся снова к задаче о «просветлении» границы между двумя различными средами. Эта задача была решена в § 48 при помощи сосредоточенных препятствий (массового и упругого препятствия). Теперь решим эту же задачу, используя слой конечной толщины. Подберем такой материал и такую толщину слоя, чтобы, помещая этот слой между двумя средами с заданными волновыми сопротивлениями, получить полный переход звуковой энергии из первой среды во вторую, т. е. чтобы коэффициент отражения обращался в нуль. Для этого импеданс искомого просветляющего слоя, нагруженного на волновое сопротивление второй среды, должен равняться волновому сопротивлению первой среды. Полагая в (49.1) запишем это условие в виде

За исключением тривиальногослучая это соотношение, рассматриваемое как уравнение относительно имеет решение только при бесконечном значении тангенса. Следовательно, толщину слоя нужно принять равной целое). Тогда из (49.17) сразу получается условие просветления

Итак, просветляющий слой должен иметь толщину, равную нечетному числу четвертей волны в материале слоя, а волновое сопротивление этого материала должно равняться среднему

геометрическому волновых сопротивлений просветляемых сред. Ясно, что слой, просветляющий границу для прохождения звука из первой среды во вторую, явится просветляющим и для прохождения звука той же частоты в обратном направлении, — еще один пример «принципа взаимности».

При изменении частоты прохождение будет неполным и появится отражение. Если принять

то коэффициент отражения выразится приближенной формулой

При большом различии волновых сопротивлений сред коэффициент отражения быстро растет при удалении от частоты просветления.

Можно показать, что полностью устранить отражение можно даже при наличии поглощения звука в материале просветляющего слоя, — для этого потребуется только соответственно изменить толщину слоя и подобрать несколько измененную плотность или скорость звука в материале слоя. Но при этом прохождение звука будет неполным: часть звуковой энергии поглотится в самом слое.

В то время как для монохроматора узость полосы пропускания — вообще желательное свойство, для просветляющего слоя это — недостаток. Чем большее число полуволн добавлено к четвертьволновому слою, тем уже пропускаемый им диапазон частот. Поэтому, обратно тому, что рекомендуется для монохроматора, просветляющие слои следует делать минимальной толщины — в одну четверть волны.