§ 14. Лапласова и ньютонова скорости звука. Температурные колебания в звуковой волне

Мы видели в § 9, что скорость звука в плоской волне определяется плотностью и сжимаемостью среды. Но сжимаемость не определена для данной среды однозначно: она зависит от температурного режима среды при сжатиях и разрежениях. В самом деле, всякая среда при сжатии нагревается («адиабатическое нагревание»), а при разрежении охлаждается, а давление зависит не только от степени сжатия среды, но и от ее температуры. Поэтому сжимаемость зависит от того, успевают ли выравниваться возникающие в звуковой волне температурные разности. Если бы выравнивание успевало происходить полностью на протяжении каждого полупериода волны, так что температура в волне оставалась бы одинаковой во всех точках, несмотря на различие давлений, то упругие свойства среды характеризовались бы изотермической сжимаемостью Если бы выравнивание температур совершенно не успевало произойти, то упругие свойства среды определялись бы адиабатической сжимаемостью рад. Как известно, отношение изотермической и адиабатической сжимаемости равно отношению у теплоемкостей среды при постоянном давлении и при постоянном объеме

В действительности разности температур выравниваться не успевают и распространение звука происходит адиабатически, т. е. в выражение для скорости звука входит адиабатическое значение сжимаемости:

Заметим, что измерить адиабатическую сжимаемость статическим методом практически нельзя, поскольку любой сосуд, куда

можно заключить сжимаемое вещество, теплопроводен и при сжатии или разрежении происходит теплообмен между веществом и сосудом. Адиабатическую сжимаемость нужно измерять так быстро, чтобы теплообмен не успевал произойти в заметной степени. Колебательное движение в звуковой волне как раз является таким быстрым процессом, и рад можно найти из формулы (14.2), измерив скорость звука и плотность среды. Изотермическую сжимаемость можно найти экспериментально статическим методом, производя измерение давления сжатой или разреженной среды после того, как ее температура вернется к исходному значению. Перечисленные измерения позволяют найти важную термодинамическую величину — отношение теплоемкостей у:

Для того чтобы найти расчетным способом изменение температуры в волне, вернемся к уравнению состояния (11-7). Для малых амплитуд давления, плотности и температуры уравнение состояния также можно линеаризовать, представляя в виде

где Т — изменение температуры, акустическое давление, акустическое сжатие, а — коэффициент температурного расширения среды. В звуковой волне процесс адиабатичен, т. е. должно быть

Сравнивая с предыдущей формулой, найдем, что изменения температуры в волне равны

или, пользуясь (14.1),

Для идеального газа точное уравнение состояния имеет вид

Линеаризуя это уравнение, получим 4

где невозмущенные значения полного давления Р и абсолютной температуры Т. Отсюда видно, что в идеальном газе изотермическая сжимаемость равна обратному значению невозмущенного давления: а коэффициент термического расширения равен обратному значению невозмущенной температуры,

а Согласно (14,2) скорость звука в газе равна

Например, для воздуха при нормальных условиях бар, и . Это дает для скорости звука значение см/сек, что хорошо согласуется с опытом.

Из (14.5) следует, что скорость звука в воздухе (или в другом газе) не зависит от невозмущенного давления, поскольку невозмущенная плотность пропорциональна этому давлению Изменение же температуры газа влияет на скорость звука: согласно уравнению состояния отношение пропорционально абсолютной температуре; следовательно, скорость звука в газе пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. При комнатной температуре скорость звука растет примерно на 0,17% на каждый градус повышения температуры.

В свободной атмосфере при поднятии на высоту меняются как плотность и давление, так и температура воздуха, но на скорость влияет только изменение температуры. В обычных условиях в тропосфере температура воздуха падает с высотой, значит, уменьшается и скорость звука. Поэтому «звуковой барьер» (резкое нарастание сопротивления воздуха при достижении самолетом скорости звука) на высоте наступает при меньшей скорости полета, чем у земной поверхности.

Интересно, что Ньютон, давший первый теоретический расчет скорости звука в газе, исходил из уравнения Бойля-Мариотта для давления газа; это равносильно предположению об изотермичности процесса распространения звука. Соответственное значение

которое можно назвать ньютоновой скоростью звука, для воздуха равно см/сек, что примерно на 20% меньше действительного значения. Указание на адиабатичность звуковых волн было сделано Лапласом; поэтому значение, даваемое (14.5), иногда называют лапласовой скоростью звука и обозначают Реальная скорость звука в газе — лапласова скорость. Очевидно,

Формула (14.4) дает для изменения температуры в звуковой волне в газе величину

Для нормальных условий и для воздуха получается На пороге слышимости амплитуда колебаний температуры составляет всего только около 2,5 стомиллионной Доли градуса (на болевом пороге — около 0,1°). Эти малые изменения температуры и создают двадцатипроцентную разницу между лапласовой и ньютоновой скоростями.

Малый теплообмен методу различно нагретыми участками сжатия и разрежения в звуковой волне, который все же успевает произойти за половину периода, сказывается только в небольшой потере энергии звуковой волны и переходе ее в тепло, в результате чего волна постепенно затухает при распространении. Учет таких потерь мы выполним в гл. XII. На скорость же звука малый теплообмен практически не влияет.

До сих пор мы неявно принимали, что поведение среды в звуковой волне описывается тем же уравнением состояния, что и при равновесных условиях, т. е. что в волне сжатие среды однозначно зависит от давления и от температуры в данный момент времени. Но это справедливо только для не слишком быстропеременных процессов — для звуков не слишком высоких частот. В самом деле, при изменении степени сжатия в среде начинаются внутримолекулярные и межмолекулярные процессы, переводящие ее от состояния равновесия, соответствующего одной степени сжатия, состоянию равновесия, соответствующему другой степени сжатия. Если характерное время этих процессов много меньше периода звуковой волны , то среда все время будет находиться в квазиравновесном состоянии и давление в ней будет определяться действительно только степенью сжатия.

Но при обратном соотношении характерных времен эти процессы не будут успевать следовать за волной и состояние среды будет определяться не только степенью сжатия в данный момент, но и степенью сжатия в предыдущие моменты, по крайней мере за время При таком соотношении времен никакого уравнения состояния, которое связывало давление со сжатием и температурой в один и тот момент времени, быть не может; в результате при одном и том же значении степени сжатия давление в среде окажется различным при разных частотах волн. Поэтому эффективная сжимаемость среды окажется зависящей от частоты звука, а значит, волны разной частоты будут распространяться с разной скоростью — Появится дисперсия скорости звука. Эти вопросы рассмотрим подробнее в гл. XII.