§ 22. Комплексная запись гармонических волн

Давление в любой гармонической волне можно записать в виде

Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят только от координат точки. Например (см. гл. IX), в сферически симметричной расходящейся гармонической волне и Из (22.1) следует, что скорость частиц, сжатие и другие характеристики волны в каждой точке также меняются с течением времени по синусоидальному закону.

Для гармонической волны волновое уравнение упрощается — подставляя (22.1) в волновое уравнение (16.1), получим так называемое уравнение Гельмгольца

В уравнение Гельмгольца входят производные только по координатам; таким образом, для гармонических волн зависимость от времени можно исключить из уравнений.

Если (22.1) есть интересующее нас решение уравнения (22.2), то, как легко проверить прямой подстановкой, функция

тоже есть некоторое решение, а значит, так же изображает волну, как и (22.1). Решение (22.3) отличается от (22.1) только сдвигом фазы на четверть периода. Любая линейная комбинация этих двух решений также есть решение. Для расчетов особенно удобна следующая комплексная линейная комбинация:

Здесь введено обозначение При такой записи волны стандартная для всех точек гармоническая зависимость от времени оказывается представленной множителем не зависящим от координат. Например, плоская гармоническая волна, бегущая по оси х вправо, запишется в виде Обычно

для краткости записи временной множитель опускают. Отметим, что умножение на равносильное умножению на соответствует изменению фазы колебания или фазы волны на четверть периода.

Величину в (22.4) называют комплексной амплитудой колебания; она зависит только от координат и характеризует амплитуду и фазу колебаний среды в различных точках. Уравнению Гельмгольца удовлетворяют как полное решение (22.4), так и его комплексная амплитуда в отдельности. Вещественная же амплитуда уравнению Гельмгольца не удовлетворяет.

Введенные комплексные гармонические волны удобны при расчетах, потому что в них входит только одна (экспоненциальная) функция вместо двух различных тригонометрических функций (косинус и синус), переходящих друг в друга при дифференцировании и интегрировании. Следует, однако, иметь в виду, сами комплексные решения уравнения Гельмгольца не имеют никакого физического смысла. Действительно, всякая физическая величина, всякое показание прибора, например отсчет по тому или иному индикатору, всегда есть вещественное число. Физический смысл имеет только вещественная часть комплексной волны. Для перехода от комплексной волны к имеющей физический смысл вещественной волне необходимо предварительно восстановить опущенный временной множитель а затем взять от комплексной величины вещественную часть. Чтобы вещественная часть результата операций над комплексными волнами равнялась результату тех же операций над вещественными частями комплексных волн, эти операции должны быть линейными: допустимо сложение, вычитание волн, дифференцирование их по времени и по координатам. Но, например, вещественная часть произведения не равна произведению вещественных частей комплексных чисел. Поэтому энергию или мощность волны нельзя получить непосредственно перемножением комплексных величин, характеризующих волну, а приходится возвращаться к вещественной записи (см. гл. IV).

При изучении гармонических колебаний и волн весьма удобно пользоваться также отношениями комплексных величин. Для гармонического процесса такое отношение не зависит от времени (множители сокращаются). Фаза полученного отношения равна разности фаз делимого и делителя. Если обе величины одной природы, например падающая на препятствие волна и отраженная волна, то модуль отношения равен отношению вещественных амплитуд этих волн. Весьма полезными оказываются и отношения величин различной природы, например давления и скорости (так называемый импеданс) и т. д. В дальнейшем мы часто будем встречаться с такими величинами.

Дифференцирование по времени комплексной волны осуществляется умножением на интегрирование — делением на Например, комплексная скорость частиц в комплексной

волне равна, согласно (13.3),

Отсюда видно, в частности, что движение каждой частицы в гармонической волне — плоское: скорость частицы параллельна векторам а компоненты вдоль этих векторов сдвинуты по фазе на четверть периода. В разных точках плоскость движения, частиц может быть разной.

Так же удобна для расчетов и сопряженная (22.4) комплексная комбинация

где звездочка, как обычно, обозначает комплексно-сопряженную величину. Обе комбинации различаются знаком при однако часто говорят, что вторая комбинация соответствует отрицательной частоте: это связано с видом временного множителя, принимающего для второй комбинации вид который действительно можно получить из временного множителя первой комбинации изменением знака частоты. При расчетах с отрицательными частотами все комплексные величины также должны быть заменены сопряженными значениями, дифференцирование и интегрирование должно осуществляться умножением и делением на комплексная скорость выразится через сопряженное давление формулой

плоская волна, бегущая направо, запишется в виде и т. д. Все результаты линейных операций получатся комплексно сопряженными по отношению к результатам, исходящим из выражений для положительных частот. Заменяются на сопряженныевообще все функции от комплексных характеристик волн, в частности и отношения комплексных величин, характеризующих волну (например, коэффициент отражения, импеданс). Окончательные результаты всякого расчета также получатся комплексно сопряженными по отношению к результатам, исходящим из выражений положительных частот. С отрицательными частотами приходится встречаться, например, в разложениях волн в интеграл Фурье, распространенный на частоты от до в случае, когда разложение Фурье производится по комплексным экспонентам, а не по тригонометрическим функциям.

При переходе к вещественной части результат получится один и тот же независимо от знака частоты: волны, различающиеся только знаком частоты, совпадают как физические объекты, несмотря на различную математическую запись.