§ 59. Поверхностная волна вблизи плоской границы, характеризуемой нормальной проводимостью

Мы видели, что все случаи отражения плоских волн любой формы от плоского однородного препятствия сводятся к задаче об отражении плоских гармонических волн. Эта последняя задача решается, как мы видели, если известна частотная зависимость проводимости или импеданса препятствия. Для гармонических волн удобно пользоваться комплексными представлениями как самих падающих и отраженных волн, так и углов скольжения. Мнимый угол скольжения соответствует неоднородной волне. Проводимость препятствия в общем случае — комплексная. Особый интерес представляет нахождение для препятствия с заданной входной проводимостью такой гармонической волны, которая одна может удовлетворить граничному условию на поверхности препятствия. Такой случай соответствует обращению коэффициента отражения от препятствия в нуль или в бесконечность.

С подобными случаями мы уже встречались. Так, в § 30 рассматривалось нормальное падение на «поглотитель» — препятствие с вещественным входным импедансом, равным волновому сопротивлению среды; коэффициент отражения при этом обращается в нуль. Аналогично, отсутствует отражение наклонно падающей волны, если входной импеданс препятствия — чисто активный и равен волновому сопротивлению среды, разделенному на синус угла скольжения. Отражение отсутствует и при падении волны на границу двух сред при угле скольжения В обоих случаях имеется поток энергии, идущий из среды в препятствие, которое можно поэтому рассматривать как поглотитель или, мысленно отбросив препятствие, заменить его той же средой, заполняющей все второе полупространство, в которое падающая волна войдет без отражения.

Выясним теперь условие отсутствия отражения от препятствия с любой нормальной проводимостью Из (58.2) следует, что это

условие имеет вид

где через обозначена относительная проводимость препятствия.

Вся теория волны, удовлетворяющей в одиночку данному граничному условию, заключена в этом уравнении. Проанализируем его для разных свойств поверхности препятствия.

Пусть проводимость — вещественное положительное число. Могут представиться два случая: что соответствует неравенствам В первом случае искомый угол найдется по формуле Это значит, что плоская волна вида падая на заданную поверхность, не отразится от нее и будет целиком поглощена.

Во втором случае Это значит, что от данного препятствия не отразится неоднородная волна вида Это — волна, бегущая нормально к границе и убывающая экспоненциально вдоль границы. Такому решению, однако, можно придать физический смысл только в том случае, если по условиям задачи область, содержащая исключена.

Перейдем теперь к общему случаю, когда проводимость комплексна, и положим

Рис. 59.1. Неоднородная волна вблизи плоскости с комплексной проводимостью. Стрелки показывают направление бега волны для поглощающей плоскости и для генерирующей плоскости Кривые показывают распределение амплитуд вдоль фронтов, изображенных прямыми линиями. а) Плоскость с проводимостью упругого типа ; б) плоскость с проводимостью массового типа .

Угол скольжения искомой падающей волны тоже будет в этом случае комплексным:

Из (59.1) найдем

откуда

Исключая из этих выражений получим систему

Значит, величины являются решениями уравнения

Корни этого уравнения даются формулой

из которой видно, что оба решения вещественные положительные. Легко показать, что корень, отвечающий верхнему знаку, всегда больше единицы, а корень, отвечающий нижнему знаку, — меньше единицы. Полагая равным первому корню, второму корню, найдем после простых переделок следующие вещественные значения для

Рис. 59.2. Неоднородная волна, бегущая вдоль плоскости с чисто реактивной проводимостью Проводимость упругого типа, б) проводимость массового типа.

Согласно (59.3) искомая волна имеет вид

Для т. е. для поверхности, поглощающей энергию, след волны на нормали к границе бежит по направлению к границе. При и волна бежит от границы: поверхность генерирует звуковую энергию. Знак величины определяет характер реактивной части проводимости границы: знак плюс означает массовую проводимость, знак минус — упругую.

В первом случае амплитуда нарастает при удалении от поверхности, во втором — убывает (рис. 59.1). При чисто реактивной проводимости препятствия и волна бежит вдоль поверхности («поверхностная волна», рис. 59.2). В этом случае уравнение волны имеет вид

Волна оказывается замедленной по сравнению с плоской волной, как и во всех остальных случаях реактивного импеданса. Очевидно, в неограниченном полупространстве поверхностная волна, бегущая

вдоль границы, возможна только при упругой проводимости стенки. В слое возможно существование такой волны и вблизи стенки с массовым импедансом, при условии, что вторая стенка имеет упругий входной импеданс того жемодуля.

В заключение заметим, что условие (59.1) обращения в нуль коэффициента отражения совпадает с условием обращения коэффициента отражения в бесконечность, если за угол скольжения падающей волны взят угол Это равносильно замене в вышеприведенных формулах угла а на угол —а при сохранении угла неизменным. Разница в этих двух подходах к задаче — чисто формальная. Ведь имеется только одна волна, и безразлично, считать ли, что падающая волна конечна, а отраженная равна нулю или что падающая волна равна нулю, но отраженная конечна, — нужно только соответственно переименовывать волны и изменять углы.