§ 148. Сферически-симметричные волны. Радиальные колебания твердой сферы

Из соображений симметрии ясно, что поперечные сферически-симметричные волны не существуют. Единственно возможная сферически-симметричная волна — продольная волна с чисто радиальными смещениями. Такую волну можно охарактеризовать

скалярным потенциалом смещений также имеющим сферическую симметрию. Единственная отличная от нуля радиальная компонента смещения выразится через потенциал формулой

Нормальное напряжение на сферических координатных поверхностях выразится формулой

Но для сферически-симметричного случая

а в силу волнового уравнения Поэтому напряжение можно переписать в следующем виде:

В частности, для гармонической волны найдем

Полученных формул достаточно, чтобы найти сферически-симметричные собственные колебания твердой сферы при тех или иных граничных условиях на ее поверхности, поле монополя в твердой среде, а также колебания сферической полости в твердой среде. В этом параграфе рассмотрим колебания твердой сферы.

Пусть сфера радиуса а помещена в вакуум. Граничным условием на поверхности сферы явится обращение в нуль нормального напряжения на поверхности сферы; остальные граничные условия выполнятся автоматически вследствие симметрии движения. Потенциал смещений для искомого колебания должен иметь вид где а вместе с тем и частота найдутся из граничного условия. Подставляя в (148.2), получим уравнение частот в виде

или, после элементарного преобразования,

Напомним, что соответственное условие для жидкой сферы имеет

вид где целое. Уравнение частот удобно решать графически, преобразовав его к виду

На рис. 148.1 семейство прямых, проведенных под углом 45° к осям, изображает различные ветви левой части уравнения в функции от а кривая с разрывом — правую часть уравнения.

Рис. 148.1. Графическое определение собственных частот сферически-симметричных колебаний твердой сферы со свободной поверхностью.

В точке разрыва знаменатель аргумента правой части обращается в нуль. Этому соответствует значение

С другой стороны, правая часть до разрыва остается большей, чем Поэтому в верхней полуплоскости пересечений кривой с семейством, дающих искомые значения нет; первое пересечение имеет место с прямой , второе — с прямой и т. д., как видно из рисунка. Значение равно числу сферических узловых поверхностей, на которых напряжение обращается в нуль. Колебание наименьшей частоты имеет только одну узловую поверхность — поверхность самого сферического объема. Для жидкой сферы того же радиуса и с той же скоростью продольных волн, что и в данной твердой среде, собственные значения Задавались бы пересечениями семейства с осью абсцисс: все решения были бы больше, чем для твердой сферы. Значит, при условии равной скорости звука собственные частоты для - сферически-симметричных колебаний твердой сферы ниже, чем для жидкой сферы того же радиуса.

Для собственных частот твердой сферы, ограниченной абсолютно жесткой сферической границей, уравнение частот получится из требования равенства нулю смещения частиц на границе: при Это приводит к частотному уравнению того же вида, что и в жидкости:

Обратим внимание на то, что минимальный размер резонансной сферы при обоих типах граничных условий и при любом коэффициенте Пуассона имеет порядок длины продольной волны.