§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы
Под комплексом в теории групп подразумевается произвольное множество элементов группы
Под произведением 
двух комплексов 
понимается множество всех произведений 
где 
элемент из 
элемент из 
Если в произведении 
один из комплексов, скажем, 
состоит из единственного элемента 
то вместо 
пишут просто 
Очевидно, имеет место равенство
Таким образом, в сложных произведениях комплексов мы можем опускать скобки (ср. § 6, (1)).
Если комплекс 
является группой, то
Пусть 
и 
— подгруппы группы 
При каких условиях произведение 
снова является группой? Совокупностью элементов, обратных к элементам из 
является 
так как обратным к 
служит элемент 
Таким образом, если 
группа, то
т. е. 
должны быть перестановочными. Но это условие является и достаточным, так как если оно выполнено, то 
содержит вместе с каждым элементом 
обратный к нему элемент 
и вместе с любыми двумя элементами — их произведение, потому что
Итак: произведение 
двух подгрупп 
и 
некоторой группы 
является группой тогда и только тогда, когда подгруппы 
перестановочны. При этом, конечно, не требуется, чтобы каждый элемент из 
был перестановочен с каждым элементом из I). Если условие перестановочности (1) выполнено, то произведение 
является подгруппой, порожденной 
и I).
В любой абелевой группе равенство (1) выполняется. Если абелева группа записана аддитивно, то 
являются подмодулями некоторого модуля и пишут 
вместо 
так как обозначение 
предназначается для частного случая «прямой суммы» комплексов, о которой речь впереди.
Если 
подгруппа и а — элемент группы то комплекс 
называется левым смежным классом, а комплекс 
правым смежным классом группы 
по подгруппе 
Если а лежит в 
то 
таким образом, всегда одним из левых (равно как и одним из правых) смежных классов по подгруппе 
является сама эта подгруппа.
В дальнейшем будут в основном рассматриваться левые смежные классы, хотя проводимые рассмотрения приводят к тем же выводам и в случае правых смежных классов.
Два смежных класса 
могут быть равными, даже если 
не равны. Это происходит тогда, когда 
лежит в 
Два различных смежных класса не имеют ни одного общего элемента. Если бы смежные классы 
содержали общий элемент, скажем,
то отсюда следовало бы, что
и получилось бы, что 
лежит в 
В силу сказанного выше это означает, что 
совпадают.
Каждый элемент а принадлежит некоторому смежному классу, а именно классу 
этот 
содержит элемент 
а. В силу доказанного выше элемент а принадлежит только одному смежному классу. Поэтому мы можем рассматривать каждый элемент а как представитель содержащего его смежного класса 
В соответствии со сказанным выше смежные классы образуют разбиение группы 
на классы. Каждый элемент принадлежит одному и только одному (смежному) классу.
Любые два смежных класса равномощны: сопоставление 
определяет взаимно однозначное отображение из 
на 
За исключением самой подгруппы 
смежные классы не являются группами, потому что группа должна содержать единицу.
Число различных смежных классов группы 
по подгруппе 
называется индексом подгруппы 
Индекс может быть конечным и бесконечным.
Если 
порядок (конечной) группы 
порядок и 
индекс подгруппы 
то имеет место соотношение:
действительно, 
распадается на 
классов, состоящих из 
элементов.
Для конечных групп из равенства (2) можно выразить индекс 
Следствие. Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка всей группы.
В частности, если в качестве подгруппы взять циклическую группу, порожденную некоторым элементом с, то отсюда получится:
Порядок элемента конечной группы является делителем порядка всей группы.
Вот непосредственное следствие этого утверждения: в любой группе из 
элементов для произвольного элемента а имеет место равенство 
Может оказаться, что все левые смежные классы 
равны правым смежным классам. Если это так, то тот левый смежный класс, который содержит элемент а, должен совпадать с правым смежным классом, содержащим тот же элемент а, т. е. для любого 
гемента а должно иметь место равенство комплексов:
Подгруппу 
удовлетворяющую равенствам (3), т.е. перестановочную с любым элементом а из 
называют нормальной или инвариантной подгруппой группы 
Если 
нормальная подгруппа, то произведение двух смежных классов снова является смежным классом:
Задача 1. Найти для подгрупп группы 
правые и левые смежные классы. Какие из этих подгрупп являются нормальными?
