§ 164. Подгруппы и факторгруппы

Каждая подгруппа в -группе снова является -группой. Особенно важными являются замкнутые подгруппы.

Каждая открытая подгруппа является замкнутой.

Доказательство. Пусть — открытая подгруппа в Смежные классы также открыты в Объединение всех смежных классов, не считая Я, вновь является открытым. Это объединение является дополнением для подгруппы следовательно, замкнута.

Пример 5. Пусть — кольцо всех матриц из строк и столбцов над полем вещественных чисел. Обратимыми элементами в являются те матрицы А, которые обладают обратной матрицей Обратимые матрицы составляют некоторую группу Определим кубическую окрестность произвольной матрицы А как совокупность матриц В, для которых

(см. § 159, пример 4); тогда будет аддитивной, — мультипликативной топологической группой. В группе можно рассмотреть подгруппу матриц А с положительными определителями Эта подгруппа в открыта, а потому и замкнута.

Пусть произвольная нормальная подгруппа в Замкнутость этой подгруппы пока не предполагается. Построим факторгруппу

При гомоморфном отображении группы на группу базисные окрестности единицы переходят в некоторые подмножества V группы тривиальным образом удовлетворяющие условиям Тем самым множества определяют на некоторую топологию. В смысле этой топологии отображение а а непрерывно, что следует непосредственно из определения непрерывности. Таким образом,

Каждая факторгруппа топологической группы является топологической и отображение а а при этом непрерывно.

Выясним теперь, при каких условиях факторгруппа удовлетворяет первой аксиоме отделимости Вот ответ:

Если нормальная подгруппа является замкнутой? подгруппой, то является -группой и наоборот.

Доказательство. Пусть замкнутая в нормальная подгруппа. В этом случае каждый смежный класс является замкнутым в Если то не принадлежит классу т. е. принадлежит открытому дополнению класса Следовательно, существует некоторая окрестность V точки не имеющая с ни одной общей точки. Образ в групне тогда не содержит элемента а. Следовательно, группа удовлетворяет условию поэтому является Тггруппой.

Пусть теперь Т-группа. Тогда множество элементов открыто в Так как отображение непрерывно, прообраз этого открытого множества открыт. Однако этот прообраз является дополнением до подгрунпы в исходной группе Следовательно, подгруппа замкнута в

(см. скан)