§ 20. Инвариантность размерности

Мы намерены доказать, что размерность векторного пространства т. е. число элементов произвольного базиса, не зависит от самого базиса.

Вектор у называется линейно зависимым от векторов (над телом К), если

или, что то же самое, если выполнено линейное соотношение

. В частности, вектор у называется зависимым от пустого множества векторов, если

В связи с понятием линейной зависимости существует много теорем, которые мы разделяем на «основные» и на «следствия». Основные теоремы выводятся непосредственно из определения этого понятия. Следствия же, напротив, устанавливаются через основные теоремы без повторного использования определения, т. е. без обращения к смыслу термина «линейная зависимость». Такое положение дел оказывается полезным в связи с одной из последующих глав, посвященной понятию «алгебраической зависимости», для которого имеют место те же самые основные теоремы и поэтому те же самые следствия.

Будет достаточно трех основных теорем. Первая является совершенно естественной:

Основная теорема. Каждый вектор линейно зависим от векторов

Основная теорема 2. Если вектор у линейно зависим от но не от то линейно зависим от

Доказательство. В равенстве (2) обязательно так как иначе у был бы зависимым уже от

Основная георема 3. Если линейно зависим от и если каждый вектор линейно зависим от то вектор линейно зависим от

Доказательство. Из следует, что

Из основных теорем 1 и 3 получается

Следствие 1. Если вектор линейно зависим от то линейно зависим и от каждой системы содержащей систему

Частный случай такой ситуации имеет место тогда, когда совпадают с точностью до порядка следования с векторами лги Таким образом, понятие линейной зависимости не зависит от порядка следования

Определение. Элементы называются линейно независимыми, если ни один из них не является линейно зависимым от остальных.

Понятие линейной независимости не связано с порядком следования векторов Пустое множество должно, конечно, считаться линейно независимым. Один единственный вектор х линейно независим, если он не является зависимым от пустого множества векторов, т. е. если

Следствие 2. Если линейно независимы, а таковыми не являются, то линейно зависим от

Доказательство. Один из элементов должен быть линейно зависимым от остальных. Если этим элементом является то все доказано. Если же им является не скажем, то линейно зависим от но не от следовательно (основная теорема 2), элемент линейно зависим от

Следствие 3. Каждая конечная система векторов содержит (возможно, пустую) линейно независимую подсистему, от которой все линейно зависимы.

Доказательство. Найдем в данной системе по возможности большую подсистему из линейно независимых векторов. Каждый содержащийся в этой подсистеме вектор линейно зависим от этой системы в силу основной теоремы 1, как и каждый не содержащийся в этой системе вектор в силу следствия 2.

Определение. Две конечные системы называются (линейно) эквивалентными, если каждый

линейно зависим от а каждый линейно зависим от

Определение эквивалентности по самому своему построению симметрично, в силу основной теоремы 1 рефлексивно, а в силу основной теоремы 3 транзитивно. Если некоторый элемент линейно зависим от одной из двух эквивалентных систем, то согласно основной теореме 3 он зависит и от другой системы. Согласно следствию 3 каждая конечная система эквивалентна некоторой линейно независимой подсистеме.

Следующая теорема о замене принадлежит Штейницу:

Следствие 4. Если векторы линейно независимы и каждый линейно выражается через векторы то в системе векторов существует подсистема в точности из векторов такая, что ее можно заменить на систему векторов и полученная так из новая система будет эквивалентна исходной системе . В частности, обязательно

Доказательство. Для утверждение тривиально: в этом случае нет векторов и нечего заменять. Пусть, таким образом, утверждение верно для и пусть подсистему можно заменить на При этой замене возникает система эквивалентная системе Вектору линейно зависим от а потому и от эквивалентной системы Таким образом, существует наименьшее по включению подмножество в от которого линейно зависим. Это наименьшее подмножество не может состоять только из упомянутых выше так как линейно независимы. Следовательно, наименьшее подмножество содержит по крайней мере один из векторов которой мы обозначим через . В силу основной теоремы 2 вектор линейно зависим от системы, которая получается из заменой на поэтому этот вектор линейно зависим и от большей системы, содержащей построенную, которая получается из заменой Пусть эта система имеет вид Она эквивалентна системе так как линейно зависит от первой системы, а — от второй. Тем самым мы осуществили еще один шаг в направлении замены: новая система эквивалентна системе а потому и исходной системе

Следствие эквивалентные линейно независимые системы состоят из одинакового количества векторов.

Доказательство. В силу следствия 4 имеют место неравенства

Из следствия 5 немедленно получается, что два любых базиса векторного пространства состоят из одного и того же количества элементов. Таким образом, размерность векторного пространства не зависит от выбора базиса. Размерность называют также линейным рангом или рангом пространства над телом .

Если имеет размерность над К, то из теоремы о замене следует, что среди лкбых элементов пространства есть хотя бы один, линейно зависимый от всех остальных. Таким образом, можно определить размерность как максимальное число линейно независимых элементов из Отсюда:

Линейное подпространство пространства (т. е. подмодуль, в котором сохраняется умножение на элементы из К) имеет размерность, не большую, чем размерность всего пространства

Если составляют базис для , а базис для то по теореме о замене можно вместо построить другую эквивалентную систему, в которой первыми элементами будут Остальные можно обозначить через Так получится новая система из порождающих элементов:

Она вновь линейно независима, так как иначе размерность пространства оказалась бы меньше Таким образом:

Любой базис линейного подпространства размерности можно дополнить до базиса всего пространства некоторыми векторами

(см. скан)