§ 127. Универсальное поле

В классической алгебраической геометрии всегда считалось, что поле которому принадлежат координаты точек является полем комплексных чисел. Новейшая алгебраическая геометрия исходит, однако, из произвольного основного поля Расширение основного поля, содержащее координаты точек как показал Андре Вейль, целесообразно брать универсальным над К, т. е. считать, что, во-первых, алгебраически замкнуто и, во-вторых, имеет бесконечную степень трансцендентности над К. Если задано поле то такое универсальное поле можно построить, присоединив сначала к К бесконечно много переменных а затем взяв, в соответствии с § 72, алгебраическое замыкание.

Использование универсального поля основано на следующей теореме:

Любое расширение получающееся присоединением конечного числа элементов к можно изоморфно вложить в . Это означает, что если заданы каких-либо элементов в произвольном расширении А поля К, то

существует изоморфизм

который оставляет элементы из К на месте, а элементы переводит в некоторые элементы поля

Доказательство. Элементы можно перенумеровать так, чтобы были алгебраически независимы над К, а остальные алгебраически зависели над К от Выберем теперь алгебраически независимыми над К. Тогда существует некоторый изоморфизм

который оставляет на месте все элементы из К, а переводит в Если теперь то все требуемое доказано. Если же то является корнем некоторого неразложимого многочлена с коэффициентами из Этому многочлену соответствует многочлен с коэффициентами из который обладает корнем Согласно § 41 изоморфизм (1) можно продолжить до изоморфизма

который переводит Продолжая таким способом, мы в конце концов получим искомый изоморфизм