§ 161. Аксиомы отделимости и счетности

Важнейшие топологические пространства удовлетворяют не только аксиомам I и II, но и следующей первой аксиоме отделимости:

Т. Если то существует окрестность точки не содержащая точку

Пространство, удовлетворяющее аксиоме называется Тпространством. Следующая формулировка эквивалентна:

Замкнутая оболочка любой точки есть сама эта точка.

Более сильной, чем является следующая вторая аксиома отделимости или аксиома Хаусдорфа:

Т2. Если то существуют окрестности и не имеющие ни одной общей точки.

Если выполнена аксиома то пространство называется хаусдорфовым или -пространством.

Первая аксиома счетности звучит так:

А. Каждая точка обладает счетным базисом окрестностей.

Более сильная вторая аксиома счетности нам не потребуется.

Важные для дальнейшего изложения топологические пространства удовлетворяют первой аксиоме отделимости и первой аксиоме счетности. Для топологических групп, а потому и для топологических колец и тел (являющихся одновременно и аддитивными группами) вторая аксиома отделимости будет получена как следствие первой.

В представленном здесь введении в топологию затронуты лишь самые необходимые основные понятия. Тем, кто хотел бы узнать о топологии больше, имеет смысл обратиться к великолепному учебнику Александрова и Хопфа (Alexandroff P. S. und Hopf Н.). Topologie, I. - Springer-Verlag, 1935, а затем к более современной литературе.

Задача 1. В хаусдорфовом пространстве любая последовательность точек может обладать лишь одним пределом.

Задача 2. Если имеет место аксиома то замкнутая оболочка любого множества состоит из всех пределов сходящихся последовательностей из Множество замкнуто, если все эти пределы лежат в