§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов

Пусть — произвольное кольцо.

Чтобы некоторое подмножество в вновь было кольцом (подкольцом кольца ), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) это подмножество должно быть подгруппой аддитивной группы кольца; другими словами, вместе с любыми оно должно содержать разность (свойство модулей),

2) вместе саиб оно должно содержать произведение

Среди подколец особую роль играют подкольца, называемые идеалами, их роль аналогична роли нормальных подгрупп в теории групп.

Непустое подмножество кольца называется идеалом, точнее, правым идеалом, если:

1) из следует, что (свойство модулей);

2) из следует для произвольного из . Словами: модуль вместе с каждым своим элементом а должен содержать все «правые кратные»

Равным образом, модуль называется левым идеалом, если из следует для произвольного

Наконец, подмножество называется двусторонним идеалом, если оно является одновременно правым и левым идеалом.

Для коммутативных колец все три понятия совпадают и поэтому говорят просто об идеалах. Идеалы будут обозначаться строчными готическими буквами.

Примеры идеалов в коммутативных кольцах:

1. Нулевой идеал, состоящий из одного нуля.

2. Единичный идеал о, содержащий все элементы кольца.

3. Идеал порожденный элементом а и состоящий из всевозможных выражений вида

То, что это множество действительно является идеалом, увидеть легко: разность двух таких выражений имеет, очевидно, тот же вид, а произвольное кратное выглядит так:

т. е. имеет вид или

Идеал является, очевидно, наименьшим среди идеалов, содержащих элемент а, потому что каждый идеал должен содержать во всяком случае все кратные и все суммы а потому и все суммы вида . Идеал может, таким образом, определяться как пересечение всех идеалов, содержащих элемент а.

Если кольцо обладает единицей то для можно воспользоваться записью вида Следовательно, в этом случае идеал состоит из всех обычных кратных Нанример, идеал (2) в кольце целых чисел состоит из всех четных чисел.

Идеал, порожденный одним элементом а, называется главным. Нулевой идеал всегда главный: это идеал (0). Единичный идеал также является главным, если — кольцо с единицей потому что тогда . В некоммутативных кольцах необходимо различать правые и левые главные идеалы. Правый идеал, порожденный элементом а, состоит из всевозможных сумм .

4. Точно так же можно определить левый идеал, порожденный несколькими элементами как совокупность сумм вида

или как пересечение всех левых идеалов кольца о, содержащих элементы Этот идеал обозначают через и говорят, что элементы составляют базис этого идеала.

5. Аналогично можно определить левый идеал порожденный бесконечным множеством он является совокупностью всех конечных сумм вида

Классы вычетов. Любой левый или правый идеал кольца с, являясь подгруппой аддитивной группы, определяет некоторое разбиение кольца на смежные классы или классы вычетов по идеалу Два элемента называются сравнимыми по идеалу или сравнимыми по модулю если они принадлежат одному классу вычетов, т. е. если Обозначение:

или, в краткой форме,

Вместо «a не сравнимо с b» пишут

Если, в частности, главный идеал в коммутативном кольце, то вместо а можно было бы также писать а Но в целях упрощения записи в этом случае пишут, опуская пару скобок,

Таким путем приходят, например, к обычным сравнениям по модулю целого числа: (словами: а сравнимо с по модулю означает, что принадлежит идеалу т. е. является кратным числа

Операции над сравнениями. Сравнение по некоторому левому идеалу остается, очевидно, верным, если к обеим частям прибавить один и тот же элемент с или если обе части умножить слева на один и тот же элемент с. Если двусторонний идеал, то обе части сравнения можно умножить на с и справа. Отсюда, далее, следует: если то

итак, сравнения по двустороннему идеалу можно почленно складывать и умножать.

Обе части сравнения можно также умножать на обычное целое число . В случае если скомбинировать приведенные выше рассуждения, получается, в частности, что сравнения можно и почленно вычитать.

Следовательно, со сравнениями можно оперировать точно так же, как с равенствами. Только сокращать, вообще говоря, нельзя: в области целых чисел, например,

но сравнение неверно, хотя

(см. скан)

Двусторонние идеалы находятся в том же отношении к понятию гомоморфизма колец, что и нормальные подгруппы к понятию гомоморфизма групп. Обратимся к понятию гомоморфизма.

Гомоморфизм определяет разбиение кольца о на классы: класс будет состоять из всех элементов а, имеющих один и тот же образ а. Это разбиение на классы мы можем описать точнее:

Класс кольца о, который при гомоморфизме о соответствует нулевому элементу, является двусторонним идеалом в о, а остальные классы являются классами вычетов по зтому идеалу.

Доказательство. Сначала докажем, что модуль. Если при гомоморфизме переходят в нуль, то в нуль переходят и разность следовательно, вместе с классу принадлежит и разность

Далее, если а переходит в нуль и произвольный элемент кольца, то переходит в следовательно, принадлежит . Равным образом, переходит в нуль и элемент Следовательно, двусторонний идеал.

Элементы одного и того же класса вычетов по представителем которого служит а, переходят в т. е. в , и, следовательно, принадлежат одному классу Если, наоборот, элемент переходит в а, то переходит в следовательно, т. е. лежит в том же классе вычетов, что и а. Тем самым требуемое доказано.

Итак, каждому гомоморфизму соответствует некоторый двусторонний идеал, являющийся его ядром.

Обратим теперь эту связь — будем исходить из произвольного идеала кольца о и зададимся вопросом: существует ли гомоморфный образ о кольца о такой, что классы вычетов по идеалу отображаются в элементы кольца

Чтобы построить такое кольцо, мы поступим так же, как в § 10: в качестве элементов конструируемого кольца возьмем просто классы вычетов по модулю класс вычетов а обозначим через а, класс вычетов через и определим как класс, в котором лежит сумма как класс, в котором лежит произведение Если какой-нибудь

другой элемент из другой элемент из то в соответствии со сказанным выше

следовательно, лежит в том же классе вычетов, что и точно так же лежит в том же классе вычетов, что и Таким образом, наше определение суммы и произведения классов не зависит от выбора элементов в классах

Каждому элементу а соответствует класс вычетов а, и это отображение гомоморфно, потому что сумма переходит в сумму , а произведение в произведение Следовательно, классы вычетов образуют некоторое кольцо (§ 12). Это кольцо мы назовем кольцом классов вычетов или фактор-кольцом кольца о по идеалу или кольца о по модулю . С помощью указанного выше соответствия кольцо гомоморфно отображается на кольцо . В этой ситуации идеал играет ту же роль, что раньше играл

Здесь мы видим принципиальную важность двусторонних идеалов: они позволяют строить кольца, гомоморфные данному кольцу. Элементами такого нового кольца являются классы вычетов по некоторому двустороннему идеалу. Любые два класса вычетов складываются и умножаются, потому что можно складывать и умножать два произвольных представителя этих классов. Из следует, что а таким образом, сравнения при переходе к классам вычетов становятся равенствами, и операции над сравнениями в кольце с соответствуют операциям над равенствами в кольце

Построенные здесь кольца частного вида, гомоморфные данному кольцу — кольца классов вычетов исчерпывают, по существу, все кольца, гомоморфные кольцу . Действительно, если — произвольное кольцо, гомоморфное кольцу , то мы уже видели, что элементы из о взаимно однозначно соответствуют классам вычетов по некоторому двустороннему идеалу в . Класс вычетов соответствует элементу а из о. Сумма и произведение двух классов вычетов переходят соответственно в следовательно, им соответствуют элементы

и

Таким образом, сопоставление классам вычетов элементов из является изоморфизмом. Мы доказали следующее утверждение:

Каждое кольцо о, гомоморфное кольцу о, изоморфно некоторому кольцу классов вычетов При этом является двусторонним идеалом, элементы которого имеют нулевой образ в о. Обратно, любое кольцо классов вычетов является гомоморфным образом кольца о (теорема о гомоморфизмах колец).

Примеры колец классов вычетов. В кольце целых чисел классы вычетов (см. задачу 1) по произвольному положительному числу можно обозначить через где состоит из тех чисел, которые при делении на дают остаток а. Чтобы сложить или перемножить два класса вычетов нужно сложить или соответственно перемножить их представители и привести результат к его наименьшему неотрицательному остатку от деления на

(см. скан)