§ 146. Нормирования полей алгебраических чисел

Общая теория предыдущего параграфа очень хорошо иллюстрируется на примере поля алгебраических чисел.

Пусть поле алгебраических чисел, т. е. некоторое конечное расширение поля рациональных чисел порожденное примитивным элементом 8. Пусть приведенный неразложимый многочлен с корнем

Основное поле обладает единственным с точностью до эквивалентности архимедовым нормированием и для каждого единственным с точностью до эквивалентности неархимедовым нормированием, а именно, -адическим нормированием:

где показатель степени числа в разложении рационального числа а на простые множители.

Архимедову нормированию в качестве пополнения основного поля соответствует поле вещественных чисел Если еще присоединить число то поле окажется алгебраически замкнутым, и разложится на линейные множители:

Чтобы получить разложение с вещественными коэффициентами, мы должны объединить каждые два комплексно сопряженных сомножителя в один вещественный квадратичный многочлен:

Если число вещественных корней, а число пар сопряженных комплексных корней, то распадается на вещественных неразложимых множителей.

Каждому такому множителю соответствует некоторое нормирование поля получающееся, когда вкладывается в поле вещественных или комплексных чисел с помощью изоморфизма, переводящего 8 в вещественный или комплексный корень причем из двух комплексно сопряженных корней всякий раз выбирается лишь один. Этот изоморфизм переводит каждую функцию от

в такую же функцию от :

Соответствующее архимедово нормирование на выглядит так:

Все архимедовых нормирований элемента получаются, когда в последнем равенстве последовательно берутся вещественные и комплексные элементы сопряженные с причем в случае двух комплексно сопряженных чисел выбирается произвольно только одно.

архимедовых нормирований поля алгебраических чисел тесно связаны с природой обратимых элементов этого поля. См. ван дер Варден (van der Waerden В. L.). - Abh. math. Sem. Univ. Hamburg, 1928, 6, S. 259.

Совершенно аналогично проводится исследование -адического случая. Пополнение, соответствующее нормированию поля рациональных чисел, является полем -адических чисел Пусть в многочлен разлагается на неразложимые множители следующим образом:

Присоединим к какой-нибудь корень неразложимого многочлена и построим изоморфизм, который переводит (конструкция проводится для каждого Этим изоморфизмам соответствуют нормирования

или, если взять логарифмы,

При этом норма является произведением всех элементов, сопряженных с которые получаются, если в равенстве элемент пробегает последовательно все корни многочлена Если эти корни, то

— симметрическая функция корней которая, следовательно, может быть выражена через коэффициенты многочлена Таким образом, мы можем с помощью формулы (3) найти все значения если только известно разложение на множители (1).

Пример. Найти все нормирования квадратичного числового поля

Определяющий многочлен, корнем которого является число выглядит так:

В поле вещественных чисел разлагается на два вещественных линейных различных множителя:

Следовательно, существует два вложения, которые получаются, когда 8 отождествляется с или Соответствующие нормирования при условии, что

— произвольный элемент поля, имеют вид

и

Тем самым найдены два архимедовых нормирования. Обратимся теперь к -адическим нормированиям.

Дискриминант многочлена равен . Простые числа 2 и 5, входящие в дискриминант, мы рассмотрим в последнюю очередь.

Для всех остальных простых чисел многочлен по модулю не имеет кратных множителей. Следовательно, существуют лишь две возможности: либо остается неразложимым по модулю либо разлагается по модулю на два линейных множителя. Если тогда с — один из этих множителей, то автоматически с — другой из них, потому что сумма обоих корней многочлена равна нулю. Во втором случае, таким образом,

Итак, существует целое чсло с, квадрат которого сравним по модулю . При этом говорят также: 5 является квадратичным вычетом по модулю

Обратно: если то имеет место разложение (7). Следовательно: если 5 не является квадратичным вычетом по модулю то многочлен неразложим по модулю а если 5 — квадратичный вычет, то разлагается по модулю на два линейных множителя.

В первом случае многочлен является и -адически неразложимым, а во втором случае, согласно лемме Гензеля, он разлагается на линейные множители над полем

В первом случае, согласно сказанному выше, существует только одно соответствующее простому числу нормирование

Положим опять

Тогда

и тем самым

для всех простых чисел для которых 5 не является квадратичным вычетом.

Если — квадратичный вычет по модулю простого числа то, согласно лемме Гензеля, имеет место -адическое разложение

-адическое число у отыскивается следующим образом: сначала решим сравнение

по модулю затем по модулю Каждый раз будут получаться два решения: . В итоге получатся две последовательности содержащихся друг в друге классов вычетов по модулю Одна из последовательностей определяет -адическое число у, а другая — -адическое число —у.

Наконец, два продолжения -адического нормирования поля получаются тогда, когда порождающий элемент рассматриваемого поля отождествляется один раз , а другой раз . Положим опять

тогда оба нормирования представятся в виде

Так как -адическое нормирование поля известно, то нормирования полностью определены.

Следует отметить, что в конкретных случаях никогда не нужны последовательности классов вычетов по модулю целиком: процедура может быть прервана после конечного числа шагов. Необходимо лишь выяснить, на какую степень числа делится -адическое число чтобы определить нормирование Например, если после трех шагов удалось выяснить, что это число делится на но не делится на то

Остаются еще два делителя дискриминанта: В поле многочлен в соответствии с признаком Эйзенштейна (§ 144, задача 2) неразложим, потому что все его коэффициенты, не считая первого, делятся на 5, а последний не делится на . Поэтому (8) имеет место и для

В поле признак Эйзенштейна неприменим. Положим тогда

а многочлен неразложим по модулю 2. Следовательно, неразложим в поле -адических чисел и (8) выполняется и для

Задача 1. Многочлен неразложим над полем вещественных и полем -адических чисел. По модулю простого числа отличного от 2, этот многочлен разложим или нет в зависимости от того, имеет ли вид или (Мультипликативная группа поля классов вычетов является циклической порядка Она содержит корни четвертой степени из единицы или не содержит их в зависимости от того, делится ли на 4 или нет.)

Задача 2. Найти все нормирования поля гауссовых чисел Какие в данном случае существуют архимедовы нормирования? Каким простым числам соответствуют два нормирования, а каким — одно?

В § 141 мы видели, что существует тесная связь между теорией нормирований и классической теорией идеалов в полях алгебраических чисел. Теперь мы можем эту связь уточнить.

Пусть по-прежнему кольцо целых чисел в поле рациональных чисел и с — кольцо целых чисел в поле алгебраических чисел Таким образом, как и в § 136, имеет место схема включений

Нормирования мы вновь будем записывать в показательной форме. Рассмотрим такие нормирования поля которые являются продолжениями -адического нормирования на При этом определяется так: если целое число делится в точности на в точности на то

Докажем для начала следующую теорему:

Для элементов а колец число неотрицательно.

Предположим противное: число отрицательно. Как целый элемент, элемент а удовлетворяет уравнению вида

где числа из Левая часть в (12) при сделанном предположении имеет отрицательное значение

однако правая часть в (12) имеет большее значение. Это дает нужное противоречие.

Множество чисел а из о, для которых является простым идеалом в о. Пусть я — элемент из о, который делится в точности на первую степень идеала Тогда, если а делится в точности на то в силу § 137

В идеале с существует элемент с, не делящийся на Согласно (13) элемент делится на а;

Левая часть здесь делится в точности на К, как и множитель а справа, так что не делится на и Равным образом и из (14) следует что

Так как является положительной константой, то нормирование эквивалентно -адическому нормированию

Тем самым мы получили основной результат:

Все неархимедовы нормирования поля А эквивалентны -адическим нормированиям, которые определяются простыми идеалами кольца Каждому простому идеалу в кольце с, отличному от нулевого и единичного идеалов, соответствует некоторый класс эквивалентных неархимедовых нормирований и наоборот.

Простое число относительно нормирования имеет значение 1, так как совпадает на -адическим нормированием Применим теперь формулу (15) к Слева получится 1, так что справа не может стоять нуль. Это означает, что простой идеал должен входить в правую часть разложения на множители

Пусть, например, Тогда справа в (15) мы должны положить и получится

Если мы теперь в (15) обе части умножим на то в силу (16) получится соотношение

Таким образом: чтобы из нормирования получить нормированное -адическое нормирование нужно все значения умножить на показатель степени в которой простой идел входит в (17).

Число различных простых идеалов, которые участвуют в (17) справа, равно числу различных продолжений -адического нормирования поля а потому равно числу простых множителей, участвующих справа в (1), которое и там обозначалось через

Критерий целости. Элемент а поля А принадлежит кольцу о тогда и только тогда, когда в каждом -адическом нормировании поля А элемент а имеет неотрицательную норму.

То, что это имеет место «только тогда», мы уже доказали. Пусть теперь произвольный элемент из А, где и с — элементы из о. Разложим главные идеалы и (с):

Используя при необходимости множители вида мы можем достигнуть того, чтобы в разложениях (19) и (20) участвовали одни и те же простые идеалы Значение относительно -адического нормирования, соответствующего простому идеалу в этом случае равно

Если все эти значения положительны или равны нулю, то идеал делится на идеал (с) Следорательно, и элемент лежит в о, что и требовалось доказать,

Доказанную выше теорему можно сформулировать и следующим образом: Кольцо с равно пересечению колец всех -адических нормирований поля частных где пробегает множество всех простых идеалов кольца, за исключением (0) и (1).

Аналогичная теорема имеет место в произвольном целостном кольце, целозамкнутом в своем поле частных. См. по этому поводу Крулль (Krull W-)-Idealtheorie. - Ergebnisse der Math., 4, Heft 3.