§ 88. Нормальные формы матрицы над полем

Пусть модуль линейных форм над полем К и

— некоторое линейное преобразование модуля в себя. Мы собираемся ввести новый базис,

(где некоторая обратимая матрица над К), в котором матрица приобретет наиболее простую нормальную форму

Рассмотрим степени матрицы А как представление степеней произвольной переменной х и продолжим его до представления кольца многочленов которое многочлену

сопоставляет матрицу

Представление гомоморфно, потому что степени матрицы А перестановочны между собой и с коэффициентами

Этому представлению соответствует модуль представления , в котором произведение многочлена из с элементом и определяется равенством

Модуль представления является двойным модулем относительно и однако, так как величины из поля К перестановочны со всеми остальными и между собой, мы можем писать их слева от элементов модуля

поэтому можно рассматривать просто как -модуль.

Так как кольцо многочленов евклидово, применима основная теорема из § 86: модуль является прямой суммой циклических -модулей , аннулирующие идеалы которых или равны нулю, или порождаются каким-либо многочленом. Случай нулевых идеалов исключается, потому что для каждого можно указать не более линейно независимых величин среди следовательно, существует многочлен со свойством

Поэтому каждый элемент обладает аннулирующим многочленом наиболее низкой степени

и

Величины линейно независимы над К и поэтому могут использоваться для построения -базиса в циклическом -модуле Имеем:

Следовательно, преобразование А модуля в себя в новом базисе задается матрицей

Такие матрицы называются сопровождающими. Каждому менту соответствует сопровождающая матрица такого типа. Так как модуль является прямой суммой модулей для матрицы А получается первая нормальная форма

где блоки сопровождающие матрицы типа (1).

Из теоремы единственности § 86 следует, что многочлены как и сопровождающие матрицы определяются модулем однозначно.

Блоки можно разлагать дальше, представляя циклические модули в виде прямых сумм таких циклических подмодулей, которые аннулируются степенями неразложимых многочленов, форма (2) сохранит свой вид, только в эгом случае сопровождающие матрицы (1) будут соответствовать степеням многочленов (вторая нормальная форма). И здесь сопровождающие матрицы определены однозначно с точностью до порядка следования. Многочлены иногда называют элементарными делителями матрицы А. Связь между понятием инвариантного множителя из § 85 и понятием элементарного делителя выявится в § 89.

С помощью композиционных рядов циклических модулей полученные выше нормальные формы можно упростить дальше. Мы рассмотрим здесь лишь случай, когда встречающиеся в рассуждениях многочлены являются линейными; такая ситуация складывается, в частности, когда поле К алгебраически замкнуто. Итак,

В качестве базисных элементов мы возьмем элементы

Имеем:

или

Тем самым блок приобретает «редуцированный вид»:

и, равным образом, так как каждому элементу соответствует некоторое

Эти блоки следует опять подставить в (2), и мы получим третью нормальную форму. Характеристические корни и порядки рассматриваемых блоков вновь определены однозначно.

Все векторы которые соответствуют фиксированному корню X, порождают некоторый модуль аннулирующийся степенью многочлена (§ 86); этот модуль (на языке векторных пространств) называется корневым подпространством корня Я. Весь модуль является прямой суммой таких корневых подпространств. В этих последних существуют упомянутые в § 86 ряды подпространств, аннулирующихся многочленами Векторы аннулирующиеся многочленом т. е. удовлетворящие равенству

называются собственными векторами матрицы А, отвечающими собственному значению

Вполне приводимый случай (ср. § 87), в котором нормальная форма (2) имеет диагональный вид

встречается, когда все порядки равны 1, т. е. когда многочлены из которых возникают при разложении на простые множители, не имеют кратных множителей. Так как

для этого достаточно, чтобы старший элементарный делитель не имел кратных множителей.

Методы эффективного определения характеристических корней и построения нормальных форм изложены в следующих параграфах.

(см. скан)