§ 147. Нормирования поля рациональных функций

Пусть к произвольному полю А — «полю констант» — присоединена произвольная переменная х. Опишемте нормирования поля в которых константы из А имеют норму 1.

В частности, суммы имеют при таких нормированиях норму 1; поэтому нормирование неархимедово. Мы будем записывать его в показательной форме:

так что по условию для всех констант а. Возможны два случая:

1. для всех многочленов

2. Существует многочлен для которого

Может оказаться, что все Тогда и все дроби имеют норму и нормирование оказывается тривиальным.

Если это положение исключить, то в случае 1 обязательно существует многочлен для которого Разложим на простые множители; тогда по крайней мере один из множителей будет иметь норму, большую 1.

Если этот множитель и его норма, то каждый многочлен, некратный многочлену имеет норму 0. Действительно, предположим, что не делится на и имеет норму тогда ввиду взаимной простоты имеем

где некоторые многочлены. В случае справедливости сделанного предположения получим

и, в силу основного свойства неархимедовых нормирований,

что невозможно.

Если теперь произвольный многочлен и

где не делится на то

Для отношения многочленов, как обычно,

Следовательно, в случае 1 нормирование эквивалентно некоторому -адическому нормированию, определенному неразложимым многочленом Такие нормирования совершенно аналогичны -адическим нормированиям поля рациональных чисел

Особенно простым является случай алгебраически замкнутого поля констант Действительно, тогда не существует неразложимых множителей, отличных от линейных:

Каждому элементу а из соответствует ровно один неразложимый многочлен и, следовательно, одно -адическое нормирование. Его называют нормированием, соответствующим точке а, потому что в случае комплексных чисел можно рассматривать а как точку на комплексной плоскости. В этом нормировании многочлен имеет значение если он делится в точности на или, другими словами, при условии, что а является корнем порядка заданного многочлена. То же самое имеет место и для произвольной рациональной функции числитель которой делится в точности на а знаменатель не делится на . Если же числитель не делится на , а знаменатель делится в точности на то «имеет полюс порядка в а» и значение равно

Итак, случай 1 рассмотрен полностью. Покажем теперь, что в случае 2 существует только одно (с точностью до эквивалентности) нормирование, а именно

где степень числителя степень знаменателя

Доказательство. Пусть многочлен наименьшей степени, для которого Степень многочлена не может быть равна нулю, потому что все константы по условию имеют нулевую норму. Но вместе с тем эта степень не может быть и больше 1, потому что в противном случае

и многочлен х, как многочлен меньшей степени, должен был бы иметь норму а потому и имеет норму вместе с тем остаток опять-таки как многочлен меньшей

степени, имел бы норму Поэтому и сумма

имела бы норму что противоречит условию. Итак, многочлен линейный:

Если теперь

— любой другой линейный многочлен, то, согласно сделанному выше замечанию и ввиду того, что имеем

Таким образом, все линейные многочлены имеют относительно данного нормирования одну и ту же отрицательную норму:

Всегда можно перейти к эквивалентному нормированию и выбрать Тогда все линейные многочлены будут иметь норму

Степени имеют норму При этом постоянный множитель не изменяет ее значения:

Наконец, каждый многочлен является суммой слагаемых вида Согласно сделанному выше замечанию значение равно минимуму значений составляющих слагаемых, т. е.

если имеет степень Тем самым все доказано.

В случае числового поля существует принципиальная разница между одним-единственным архимедовым нормированием и бесконечным множеством неархимедовых. В случае же поля рациональных функций нормирование с помощью степени совершенно равноправно с -адическими нормированиями. Более того, с помощью очень простого изоморфизма полей можно перевести нормирование по степеням в произвольное наперед заданное -адическое нормирование. Действительно, положим

тогда отношение многочленов степеней тип

при подстановке (1) и умножении числителя и знаменателя на переходит в некоторое отношение многочленов от у,

числитель которого делится в точности на а знаменательна Значение отношения при нормировании, соответствующем точке с, равно, следовательно, разности степеней Таким образом, изоморфизм (1) переводит нормирование поля по степеням элементов в нормирование, соответствующее точке с и определенное на изоморфном поле

«Точке» в силу (1) соответствует «точка» Поэтому нормирование на функциональном поле по степеням называют нормированием, соответствующим точке со. При добавлении к комплексной плоскости точки плоскость замыкается в сферу, на которой все точки равноправны, и дробнолинейные подстановки

переводят каждую точку в любую наперед заданную. Очевидно, изоморфизм (1) — всего лишь частный случай подстановки (2).

Выясним теперь, каковы пополнения, соответствующие различным «точкам» заданного поля. Ранее (§ 142) мы видели, что пополнением, соответствующим точке с, является поле формальных степенных рядов

Коэффициентами в таких рядах являются произвольные константы: ряд всегда сходится в смысле -адического нормирования, независимо от того, как выбраны его коэффициенты. В смысле теории функций такой ряд не обязан сходиться даже тогда, когда комплексные числа: радиус сходимости может быть равным нулю.

Значение для указанного выше ряда равно если а первый отличный от нуля коэффициент.

Точно так же точке с» соответствует пополнение, являющееся полем всех степенных рядов от