Глава семнадцатая. ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов в кольцах многочленов. Обе эти теории, однако, возникли из совершенно различных по своей постановке задач. В то время как основной задачей теории идеалов в кольцах многочленов является определение корней и установление необходимых и достаточных условий для принадлежности некоторого многочлена заданному идеалу, в теории целых алгебраических чисел исходным является вопрос о разложении на множители. К этому вопросу можно прийти, например, в следующих рассмотрениях.

В кольце чисел где целые рациональные числа, не имеет места теорема об однозначности разложения элементов на множители. Например, число 9 обладает двумя существенно различными разложениями на простые множители:

Это обстоятельство побудило Дедекинда расширить область рассматриваемых элементов до области идеалов (так им впервые были названы эти объекты; Дедекинд следовал за Куммером, который добился однозначности разложения на простые множители в полях деления круга с помощью введения некоторых «идеальных чисел»). Ему удалось показать, что в этой области каждый идеал равен однозначно определенному произведению простых идеалов. Действительно, если в указанном выше примере ввести простые идеалы

то, как легко подсчитать,

откуда для главного идеала (9) получается (единственное) разложение

В этой главе будет изложена классическая (дедекиндова) теория идеалов целых элементов в модернизованной аксиоматической форме, предложенной Э. Нётер