§ 42. Корни из единицы

Выше были изложены основные общие положения теории полей. Прежде чем развивать теорию дальше, применим полученные теоремы к нескольким уравнениям очень частного вида над специальными полями.

Пусть натуральное число. Корни многочлена в произвольном поле К называются корнями -степени из единицы. Для произвольного корня степени из единицы справедливо, таким образом, соотношение

Если К — поле комплексных чисел, то корни степени из единицы можно представить геометрически как точки на единичном круге:

где угол а удовлетворяет условию

и определяется равенством

Если для задавать значения то получится точек

которые делят круг на равных дуг. Многочлен имеет, таким образом, в поле комплексных чисел ровно различных корней, которые представляются как степени одного единственного примитивного корня степени из единицы.

Рассмотрим теперь корни из единицы в произвольном поле К-Прежде всего имеет место теорема:

Корни степени из единицы в поле К образуют абелеву группу относительно умножения.

Из следует, что То, что эта группа абелева, очевидно.

Докажем теперь одну лемму об абелевых группах. Пусть элементы абелевой группы, порядки которых попарно взаимно просты. Тогда произведение

имеет порядок

Доказательство. Так как порядок элемента является во всяком случае делителем числа Если произвольное простое число, содержащееся в то входит в совершенно определенный множитель делится на все остальные но не на Следовательно,

Так как это рассуждение проходит для каждого входящего в простого числа порядок элемента равен в точности

Если теперь К — поле характеристики то положим где А не делится на Для каждого корня степени из единицы в соответствии с задачей 1 из § 37 имеет место равенство

следовательно,

Таким образом, корни степени из единицы являются одновременно корнями степени из единицы, где не делится на характеристику поля. В случае характеристики нуль можно положить . В обоих случаях

где не делится на характеристику поля.

Будем исходить из простого поля характеристики или и присоединим к все корни многочлена

Получающееся таким способом пэле разложения 2 называется полем деления круга или полем корней степени из единицы над простым полем Многочлен распадается в этом случае на различные линейные множители; действительно, производная

обращается в нуль лишь при так как не делится на характеристику поля; следовательно, не имеет общих корней с Поэтому в 2 содержится ровно корней степени из единицы.

Разложим теперь число в произведение степеней простых чисел:

В группе корней степени из единицы существует не более элементов а, для которых потому что многочлен имеет самое большее корней. Следовательно, в группе есть элемент для которого

Элемент

имеет порядок (Так как степень этого элемента равна I, его порядок является делителем числа но его степень отлична от 1 и поэтому его порядок является несобственным делителем числа Произведение

будучи произведением элементов взаимно простых порядков имеет порядок

Корень из единицы, порядок которого равен в точности мы называем примитивным корнем степени из единицы.

Степени примитивного корня из единицы различны; так как вся группа имеет лишь элементов, все ее элементы являются степенями элемента Итак:

Группа корней степени из единицы циклична и порождается любым примитивным корнем из единицы

Число примитивных корней степени из единицы теперь легко определить. Для начала обозначим его через Число равно числу элементов порядка в циклической группе порядка Во-первых, если степень простого числа, то степеней элемента за исключением степеней элемента являются элементами порядка; следовательно,

Далее, если разлагается в произведение двух взаимно простых множителей, то каждый элемент порядка однозначно представим в виде произведения некоторого элемента порядка и некоторого элемента порядка (§ 17, задача 2); обратно, каждое такое произведение является элементом о порядка. Элементы порядка принадлежат циклической группе порядка, порожденной элементом число этих элементов равно, следовательно, Точно так же число элементов порядка равно следовательно, для числа произведений имеет место равенство

Если разложение числа на взаимно простые множители, то последовательным применением этого рассуждения из полученной формулы выводим равенство:

т. е. в соответствии с (1)

Мы получили:

Число примитивных корней степени из единицы равно

Положим Примитивные корни степени из единицы обозначим через Они являются корнями многочлена

Имеем

где пробегает положительные делители числа Действительно, каждый корень степени из единицы является примитивным корнем степени из единицы для одного и только для одного положительного делителя числа так что каждый линейный множитель многочлена входит в один и только в один из многочленов

Формула (2) определяет многочлен одозначно, потому что из нее прежде всего следует, что

и если известен для всех положительных то определяется с помощью деления из (2).

Поскольку такие деления осуществляются с помощью алгоритма деления в кольце целочисленных многочленов одной переменной х, имеет место следующее утверждение:

Каждый многочлен является целочисленным многочленом и не зависит от характеристики поля (если только не делится на эту характеристику).

Многочлены называются многочленами деления круга. Примеры. Для каждого простого числа

и, следовательно,

Более общо,

Точно так же

и, следовательно,

Многочлен может оказаться разложимым, например, в произвольном поле характеристики 3 имеет место разложение:

Позднее, однако, мы видим (§ 58), что в простом поле характеристики нуль многочлен неразложим, в силу чего все примитивные корни степени из единицы сопряжены. В § 31 на основе теоремы Эйзенштейна мы выяснили, что такая ситуация складывается всякий раз, когда простое число; для это утверждение составляло содержание задачи 3 из § 31 и задачи 5 из § 30.

Часто оказывается полезной следующая теорема:

Если корень степени из единицы, то

Доказательство получается немедленно из формулы суммы геометрической прогрессии: для имеем

(см. скан)