Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 42. Корни из единицыВыше были изложены основные общие положения теории полей. Прежде чем развивать теорию дальше, применим полученные теоремы к нескольким уравнениям очень частного вида над специальными полями. Пусть
Если К — поле комплексных чисел, то корни
где угол а удовлетворяет условию
и определяется равенством
Если для
которые делят круг на Рассмотрим теперь корни из единицы в произвольном поле К-Прежде всего имеет место теорема: Корни Из Докажем теперь одну лемму об абелевых группах. Пусть
имеет порядок
Доказательство. Так как
Так как это рассуждение проходит для каждого входящего в Если теперь К — поле характеристики
следовательно,
Таким образом, корни
где Будем исходить из простого поля
Получающееся таким способом пэле разложения 2 называется полем деления круга или полем корней
обращается в нуль лишь при Разложим теперь число
В группе корней
Элемент
имеет порядок
будучи произведением элементов взаимно простых порядков
Корень из единицы, порядок которого равен в точности Степени Группа корней Число примитивных корней
Далее, если
Если
т. е. в соответствии с (1)
Мы получили: Число примитивных корней
Положим
Имеем
где Формула (2) определяет многочлен
и если Поскольку такие деления осуществляются с помощью алгоритма деления в кольце целочисленных многочленов одной переменной х, имеет место следующее утверждение: Каждый многочлен Многочлены
и, следовательно,
Более общо,
Точно так же
и, следовательно,
Многочлен
Позднее, однако, мы видим (§ 58), что в простом поле характеристики нуль многочлен Часто оказывается полезной следующая теорема: Если
Доказательство получается немедленно из формулы суммы геометрической прогрессии: для
(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|