§ 109. Групповые характеры

Кронекерово произведение преобразований

Пусть даны два линейных преобразования переводящих некоторое векторное пространство в другое векторное пространство

Построим в соответствии с § 94 произведение этих двух векторных пространств — оно будет порождаться произведениями и положим

Определенное таким образом линейное преобразование А на произведении векторных пространств называется кронекеровым произведением преобразований и обозначается через Элементами матрицы, соответствующей преобразованию А, будут согласно (1) произведения След матрицы А равен

Отсюда: след произведения преобразований является произведением следов преобразований

Если на векторы и последовательно подействовать преобразованиями а на векторы и — преобразованиями и то на произведения последовательно подействуют

преобразования

Если матрицы составляют некоторое представление группы а матрицы другое представление той же самой группы, то из (2) следует, что произведения преобразований тоже составляют некоторое представление. Это произведение представлений и обозначается через

Если символом обозначать приводимое представление, распадающееся на и и считать эквивалентные представления одинаковыми, то верны следующие равенства:

В частности, если конечная группа, порядок которой не делится на характеристику поля то любое представление полностью распадается на неприводимые представления и оказывается выполненным равенство

где — целые неотрицательные числа. В формуле (3) символ не показатель степени, а индекс. Из (3) для следов следует равенство

Если представления абсолютно неприводимы и, следовательно, следы являются характерами, то отсюда можно заключить, что

(первое соотношение между характерами).

Характеры как функции классов

Если — сопряженные элементы группы, т. е.

то для представляющих матриц имеет место равенство

Тем самым имеют одинаковые следы:

в частности,

Если мы соберем все те элементы группы, которые сопряжены с фиксированным элементом а, в один класс то каждый характер будет иметь одно и то же значение на всех элементах этого класса.

Пусть число элементов класса сумма элементов этого класса (в групповом кольце с); тогда характер, соответствующий является суммой характеров, соответствующих элементам рассматриваемого класса; таким образом,

Отныне мы будем предполагать, что ни порядок группы ни степень абсолютно неприводимых представлений не делятся на характеристику основного поля. Как было показано в § 108, элементы порождают центр 3 группового кольца о. Согласно § 107 гомоморфизмы центра 3 связаны с характерами следующими соотношениями:

в частности,

Произведение является суммой групповых элементов, вновь принадлежащей центру и поэтому вновь выражающейся через суммы классов

Гомоморфность отображения выражается в таком случае равенством

которое с помощью (5) переписывается в виде

(второе соотношение между характерами).

В суммах (6), (7) и (8) индекс с пробегает произвольно фиксированную систему представителей всех классов. Если же с пробегает все элементы группы, то в (8) следует справа

вычеркпуть множитель Так как единственно возможные гомоморфизмы центра 3. характеры являются единственно возможными решениями уравнения (8).

Сопряженные характеры

Для каждого представления существует «сопряженное (или контраградиентное) представление» где - матрица, транспонированная по отношению к А. Действительно, при таком сопоставлении имеем:

Представление, сопряженное к сопряженному представлению, совпадает с исходным. Если представление приводимо, то таково же и сопряженное, и наоборот. Таким образом, представление, сопряженное к неприводимому, тоже неприводимо.

Если от данного представления А перейти к эквивалентному представлению то сопряженное представление перейдет в

т. е. тоже в эквивалентное.

Обозначим через представление, сопряженное к тогда, если то

и, так как след матрицы А равен следу матрицы А, справедливо равенство

Характер сопряженный к обозначается также и через

Каждый характер является суммой корней из единицы. Это объясняется тем, что каждый элемент а группы порождает некоторую циклическую подгруппу порядок которой является делителем а любое неприводимое представление группы задает некоторое представление группы ; последнее полностью распадается на представления первой степени, матричные элементы которых являются корнями степени из единицы. След представляющей матрицы равен сумме диагональных элементов, т. е. сумме корней степени из единицы:

где примитивный корень степени из единицы.

Дальнейшие соотношения между характерами

Если — след группового элемента с в регулярном представлении, то

так как регулярное представление содержит неприводимое представление точно раз. След однако, вычисляется непосредственно: групповые элементы составляют базис векторного пространства , на котором действует регулярное представление и

Элементы с входят сюда лишь тогда, когда с равно единичному элементу группы 1; в этом случае каждое равно соответствующему k. Таким образом

и, следовательно,

Если теперь просуммировать (8) по всем и сравнить с (10), то получится

Число показывает, как часто произведение где а принадлежит классу классу обращается в 1. Следовательно, это число равно нулю, если и не имеют взаимно обратных элементов. Но если такая пара элементов существует допустим, то для каждого элемента из есть обратный элемент из и мы получаем

Тем самым, деля соотношение (11) на мы приходим к третьему соотношению между характерами:

В частном случае отсюда вновь получается (10).

Пусть теперь система представителей всех классов сопряженных элементов. Положим

Соотношение (12) говорит тогда о том, что матрицы взаимно обратны:

Из (13) следует, что

или, более подробно,

Здесь а пробегает всю систему представителей, указанную выше. Если же а пробегает все элементы группы, то нужно убрать множители Отсюда получается ортогональность характеров

(четвертое соотношение между характерами).

В частности, если т. е. когда есть характер ничного представления, то из (15) следует

Тот факт, что матрицы взаимно обратны, можно использовать для вычисления идемпотентных элементов центра порождающих в о двусторонние идеалы. Действительно, согласно § 108 для базисных элементов центра 3 имеют место равенства

Если умножить это на и просуммировать по всем классам то получится

или

Литература. Не зависящее от теории алгебр обоснование теории представлений конечных групп данов работе: Шур (Schur I.). Neue Begriindung der Theorie der Gruppencharaktere. - Sitzungsber. Berlin, 1905, S. 406-432. Обобщение этой теории на бесконечные группы принадлежит фон Нейману (von Neumann J.). Almost periodic functions in groups. - Trans. Amer. Math. Soc., 1934, 36, p. 445-492. Дальнейшие сведения о литературе можно найти у автора: van der Waerden В. L. Gruppen von linearen Transformationen.- Ergeb. Math., IV/