§ 167. Фильтры

Пусть произвольно фиксированное множество. Подмножества из будем обозначать буквами Системы этих подмножеств будут обозначаться готическими большими буквами 8.

Система называется фильтром, если она обладает следующими свойствами:

F. Каждое множество А, содержащее одно из множеств из само принадлежит

F2. Пересечение любого конечного числа множеств из снова принадлежит g.

F3. Пустое множество не принадлежит системе

Из следует, что само множество как пересечение пустого множества подмножеств из принадлежит Вместо можно было бы потребовать следующее:

F2. Пересечение любых двух множеств из принадлежит

F. Множество принадлежит системе

Пример 1. Окрестности произвольной точки в топологическом пространстве составляют некоторый фильтр — фильтр окрестностей точки

Непустая система называется базисом фильтра, если она обладает следующими свойствами:

В. Пересечение любых двух множеств из содержит некоторое множество из .

В2. Пустое множество не принадлежит системе

Если оба эти свойства налицо, то можно построить некоторый фильтр состоящий из подмножеств множества которые содержат по крайней мере по одному подмножеству из Говорят, что этот фильтр порождается базисом и что базис фильтра

Пример 2. Базис окрестностей некоторой точки в топологическом пространстве является базисом фильтра окрестностей точки

Пример 3. Пусть задана некоторая последовательность элементов множества М:

Если удалить конечное число членов этой последовательности, то остальные будут составлять некоторое множество А. Множества А такой природы составляют некоторый базис фильтра Фильтр, порожденный базисом состоит из тех подмножеств множества которые содержат почти все члены данной последовательности.

Начиная с этого места, пусть некоторая топологическая группа Пусть У — некоторая окрестность единицы Говорят, что множество А является малым порядка V, если все частные элементов из А лежат в V:

Говорят, что система множеств содержит произвольно малые множества, если для каждой окрестности единицы V существует множество А из , являющееся малым порядка

Фильтр Коши — это фильтр, который содержит произвольно малые множества.

Базис фильтра Коши в группе — это такой базис филыра,

который содержит произвольно малые множества. Фильтр, порожденный базисом фильтра Коши, является фильтром Коши.

Базис фильтра сходится к а, если в каждой окрестности точки а лежит некоторое множество А из В этом случае пишут

В любой -группе предел а определен однозначно.

В § 166 T-группа была названа слабо полной, если в ней каждая последовательность Коши имеет предел. На самом деле это понятие полезно только тогда, когда группа удовлетворяет первой аксиоме счетности. В общем же случае необходимо более сильное понятие. Введем его: -группа называется сильно полной, если в ней сходится каждый фильтр Коши.

Каждая сильно полная -группа является и слабо полной.

Доказательство. Пусть группа сильно полна и пусть произвольная фундаментальная последовательность в Множества А, которые получаются при отбрасывании конечного числа членов из данной последовательности, являются произвольно малыми по определению последовательности Коши. Эти множества А составляют некоторый базис фильтра Коши который порождает некоторый фильтр Коши Последний имеет в некоторый предел а. В каждой окрестности точки а лежат почти все члены последовательности а потому эта последовательность имеет в предел — точку а.

Докажем теперь, следуя Бурбаки, следующее:

Если некоторое множество в -группе плотно и каждый базис фильтра Коши в сходится к некоторому пределу из то группа сильно полна.

Доказательство. Пусть произвольный фильтр Коши в Мы должны доказать, что сходится.

Для каждой окрестности V единицы и каждого множества А фильтра построим произведение множеств Такие множества составляют некоторый базис фильтра потому что если и -два таких произведения множеств, множество

содержится в пересечении и Покажем теперь, что является базисом фильтра Коши.

Пусть некоторая окрестность единицы и V — настолько малая окрестность, что содержится в Выберем множество А малым порядка Для любых двух элементов множества имеют место соотношения

так что является малым порядка Тем самым является базисом фильтра Коши,

Пересечения произведений никогда не являются пустыми, потому что А содержит по крайней мере один элемент а и в каждой окрестности элемента а имеется по крайней мере одна точка из Следовательно, пересечения составляют некоторый базис фильтра Коши на По условию этот базис имеет некоторый предел В каждой окрестности точки лежит некоторое множество а потому и его подмножество Тем самым сходится к чем и заканчивается доказательство.

(см. скан)