§ 60. Поля деления круга

Пусть поле рациональных чисел, т. е. простое поле характеристики нуль. Уравнение, имеющее своими корнями только примитивные корни степени из единицы и притом каждый из них однократно:

называется (ср. § 42) уравнением деления круга, а поле корней степени из единицы называется полем деления круга или круговым полем. В § 42 мы уже видели, корни степени из единицы в поле комплексных чисел делят единичную окружность на равных дуг.

Покажем теперь, что уравнение (1) неразложимо в поле

Пусть неразложимое уравнение, которому удовлетворяет произвольно выбранный примитивный корень из единицы При этом можно рассматривать как целочисленный многочлен с содержанием 1. Нужно показать, что

Пусть простое число, на которое не делится число Тогда вместе с также и является примитивным корнем степени из единицы, и этот элемент удовлетворяет некоторому целочисленному неразложимому уравнению левая часть которого имеет содержание 1. Прежде всего покажем, что где обратимый элемент в кольце целых чисел.

Многочлен вместе с имеет корнем элемент а вместе с корень следовательно, этот многочлен делится как на так и на Если бы были существенно различными многочленами (т. е. отличались бы друг от друга не только обратимым постоянным множителем),

должен был бы делиться на произведение

где согласно § 30 многочлен тоже должен быть целочисленным. Далее, многочлен имеет своим корнем, а потому должен делиться на

причем опять-таки целочисленный многочлен.

Рассмотрим теперь (2) и (3) как сравнения по модулю Тогда по модулю

Действительно, если выполнить возведение в степень справа, записав предварительно без коэффициентов как сумму степеней х (например, вместо записать а затем раскрыть скобки в соответствии с правилами из § 37, получив возведением в степень каждого слагаемого, то получится как раз Из (3) теперь следует, что

Разложим обе части равенства (4) на неразложимые множители по модулю . В силу теоремы об однозначном разложении на простые множители многочлена с коэффициентами из поля (ср. § 18), каждый множитель из должен входить и в а потому и в Следовательно, правая часть в (2) по модулю делится на а потому по модулю как левая часть так и ее производная должны делиться на Однако производная в силу того, что имеет лишь те простые делители х, которые не делят Тем самым мы получили противоречие.

Таким образом, корень многочлена Покажем теперь следующее: все примитивные корни степени из единицы являются корнями многочлена Пусть такой корень из единицы и пусть

где равные или различные простые множители, взаимно простые с

Так как удовлетворяет уравнению таким же должен быть и элемент Повторение рассуждений для нового простого числа показывает, что и элемент удовлетворяет этому уравнению. Продолжая таким образом, мы получим, что удовлетворяет уравнению

Следовательно, все корни многочлена удовлетворяют уравнению так как неразложим, а не имеет

кратных корней, то

Тем самым доказана неразложимость уравнения деления круга).

На основании этого факта мы можем легко построить группу Галуа поля деления круга

Прежде всего, степень поля равна степени многочлена следовательно, равна числу (ср. § 42). Любой автоморфизм поля задается тем корнем многочлена в который переходит элемент Однако все корни многочлена являются степенями где — число, взаимно простое с Пусть автоморфизм, переводящий Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда

или

Далее,

следовательно,

Группа автоморфизмов поля изоморфна, следовательно, группе классов вычетов по модулю взаимно простых с (ср. § 18, задача 6).

В частности, эта группа абелева. Поэтому все ее подгруппы нормальны и все соответствующие им подполя нормальны и абелевы.

Пример. Корни 12-й степени из единицы. Классы, взаимно простые с 12, представляются числами

Поэтому автоморфизмы можно обозначить через и автоморфизм будет переводить в Таблица умножения здесь такова:

Каждый элемент в этой группе имеет порядок 2. Поэтому, кроме самой группы и единичной подгруппы, здесь есть только

три подгруппы:

Этим подгруппам соответствуют квадратичные поля, порождаемые квадратными корнями. Чтобы их найти, установим следующее: Корни четвертой степзни из единицы являются также корнями двенадцатой степени из единицы, а потому принадлежат рассматриваемому полю. Стедоватетьно, квадратичное подполе.

Точно так же рассматриваемому полю принадлежат корни третьей степени из единицы. Так как

— корень третьей степени из единицы, расширение является квадратичным подполем.

Из квадратных корней при умножении получается корень Счедовательно, третье подполе.

Выясним теперь, какие подгруппы соответствуют этим полям. Так как элемент выдерживает автоморфизм Стетовательно, поле соответствует группе

Так как элемент выдерживает автоморфизм Поэтому соответствует группе

Оставшееся по должно соответствовать группе

Любые два из этих трех подполей порождают все поле. Следовательно, корень из единицы можно выразить через два квадратных корня. Действительно,

(см. скан)

Пусть теперь показатель степени рассматриваемых корней из единицы является некоторым простым числом . В этом случае уравнение деления круга выглядит так

Оно имеет степень

Пусть - примитивный корень степени из единицы. Группа классов вычетов, взаимно простых с циклична (§ 43); следовательно, в этом случае она состоит из элементов:

где «примитивное число» по модулю т. е. элемент, порождающий группу классов вычетов. Группа Галуа является, следовательно, циклической и порождается тем автоморфизмом а, который переводит Примитивные корни из единицы могут быть представлены следующим образом:

Положим

где с числами можно оперировать по модулю

Имеем

Следовательно, автоморфизм о увеличивает индекс на -кратное повторение автоморфизма о дает

Следовательно, автоморфизм увеличивает индекс на

Элементы составляют базис расширения. Чтобы это увидеть, нужно лишь заметить, что они линейно независимы. Действительно, элементы совпадают с точностью до порядка следования с любое линейное соотношение между ними поэтому означает, что

или, после сокращения на

Отсюда следует, поскольку не удовлетворяет ни одному уравнению степени, меньшей что

следовательно, элементы ; линейно независимы.

Подполя поля деления круга получаются немедленно с помощью подгрупп циклической группы (см. § 7, конец):

Если

— разложение числа на два положительных множителя, то существует подгруппа порядка состоящая из элементов

где единичный элемент. Каждая подгруппа может быть получена таким способом.

Каждой такой подгруппе соответствует в силу основной теоремы теории Галуа некоторое промежуточное подполе А, состоящее из элементов, которые выдерживают подстановку следовательно, все подстановки из Такие элементы имеют вид

Элементы, определенные с помощью (5), следуя Гауссу, называют -членными периодами поля деления круга.

Каждый элемент выдерживает подстановку и ее степени, но не выдерживает любую другую подстановку группы Галуа. Следовательно, каждый элемент порождает некоторое промежуточное поле А. Например, возьмем тогда

Тем самым найдены все подполя поля деления круга

Пример. Пусть поле корней 17-й степени из единицы:

Одним из примитивных по модулю 17 чисел является потому что все классы вычетов, взаимно простые с 17, являются степенями класса вычетов Следовательно, базис поля деления круга состоит из 16 элементов:

Существуют подполя степеней 2, 4 и 8. Вот описание каждого из них.

8-членные периоды:

Легко проверить, что

Следовательно, элементы являются корнями уравнения

решение которого выглядит так: -членные периоды:

4-членные периоды

Имеем

Следовательно, удовлетворяют уравнению

Равным образом, и удовлетворяют уравнению

Эти уравнения указывают на то, что было известно заранее: поле квадратично над

Рассмотрим два -членных периода:

Сложение и умножение дают

Следовательно, и удовлетворяют уравнению

Наконец, сам элемент удовлетворяет уравнению

или

Корни 17-й степени из единицы могут, следовательно, вычисляться последовательным решением квадратных уравнений.

Задача 4. Провести аналогичные рассмотрения для поля корней пятой степени из единицы.

Задача 5. Доказать, что составляют некоторый базис поля Задача 6. Показать, что решения квадратных уравнений (6) и (9) вещественны и могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Вывести отсюда способ построения семнадцатиугольника.

До сих пор основным потем постоянно служило поле рациональных чисел. Предположим теперь, что характеристика

основного поля К не делит число тогда по-прежнему каждый автоморфизм будет переводить Примитивный корень степени из единицы в некоторую степень где X взаимно просто с

По-прежнему будет выполнено равенство

Следовательно, группа Галуа поля изоморфна некоторой подгруппе классов вычетов по модулю взаимно простых