§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае

В классической теории функций рассматриваются абелевы интегралы

где независимая переменная, т. е. функция, не являющаяся константой, произвольная функция поля Переход к любой другой переменной осуществляется с помощью формулы

В алгебраической теории можно отбросить символ интеграла и рассматривать только абелевы дифференциалы Замена на новую переменную вновь осуществляется с помощью формулы

Здесь выражение обретает смысл, если считать, что элемент сепарабелен над (см. § 76). По этой причине оказывается целесообразным ограничиться лишь такими переменными для которых поле сепарабельно над Такие существуют, если поле К сепарабельно порождено и, в частности, если поле совершенное.

Ради простоты мы будем предполагать, что поле А алгебраически замкнуто. Читателю предоставляется возможность перенести описываемую здесь теорию на произвольные совершенные поля констант.

Пусть переменная раз и навсегда выбрана так, что поле является сепарабельным расширением поля Чтобы исследовать поведение дифференциала относительно некоторого плейса выберем униформизирующую относительно этого плейса и разложим в степенной ряд:

Неразложимое соотношение связывающее элементы должно выполняться, если вместо подставить степенной ряд

Теперь слева стоит некоторый степенной ряд от все коэффициенты которого равны нулю. остаются нулевыми и после формального дифференцирования этого ряда, если определить формальную производную степенного ряда равенством

Таким образом, из (2) после дифференцирования, а затем подстановки вместо снова элемента получается равенство

в котором обозначают частные производные от по

Так как элемент сепарабелен над то обязано выполняться соотношение Согласно (3) элемент не может быть равным нулю, так что элемент сепарабелен над Таким образом, дифференциальное частное определено и удовлетворяет уравнению

Сравнение (3) с (4) дает

Следовательно, сепарабельная переменная дифференцируема по каждой униформизирующей относительно любого плейса и степенной ряд для соответствующего дифференциального частного получается почленным дифференцированием степенного ряда для самой переменной

Теперь дифференциал может быть выражен через униформизирующую

Конечно, степенной ряд для есть произведение степенного ряда для на степенной ряд (5). Пусть в результате получается

Если в ряд (7) не входят степени с отрицательным показателем, то говорят, что дифференциал остается конечным относительно плейса Если в указанный ряд входят только положительные степени и наименьший показатель среди них равен а, то говорят, что плейс является корнем порядка для данного дифференциала. Если же входят степени с отрицательными показателями, то плейс полюс для данного дифференциала. Порядок дифференциала в плейсе это наименьший показатель степени среди степеней униформизирующей, участвующих в рассматриваемом ряду с ненулевыми коэффициентами Очевидно, все эти понятия не зависят от выбора униформизирующей.

Полюсы дифференциала следует искать среди полюсов элементов действительно, там, где конечны, дифференциал не может иметь полюса. Следовательно, каждый дифференциал имеет лишь конечное число полюсов.

Вычетом дифференциала относительно плейса называется коэффициент при в разложении (6). В классической теории вычет можно получить, проинтегрировав дифференциал по маленькой окружности на римановой поверхности с центром разделив результат на Докажем общий факт: вычет не зависит от выбора униформизирующей.

Степенной ряд (6) может быть представлен как сумма трех видов слагаемых: слагаемые с одно слагаемое с и некоторый степенной ряд без отрицательных показателей степеней. Разумеется, этот последний степенной ряд имеет вычет, равный нулю, и поэтому в рассмотрениях может быть отброшен. Слагаемое дает вычет и легко увидеть, что дифференциал

представленный через новую униформизирующую имеет тот же самый вычет Следовательно, достаточно рассмотреть лишь слагаемые

и доказать, что при преобразовании

здесь снова получается нулевой вычет.

Преобразование (9) можно совершенно формально перенести на область степенных рядов от с коэффициентами из области целочисленных многочленов от переменных Кольцо целочисленных многочленов может быть погружено в кольцо многочленов с рациональными коэффициентами. При этом рациональные числа составляют поле характеристики нуль, тогда как исходное поле коэффициентов А может иметь характеристику

Теперь провести доказательство уже легко. Дифференциал (8) является дифференциалом функции

Если эту функцию разложить по степеням то получится степенной ряд

Дифференциал этого степенного ряда является умноженным на степенным рядом, в который не входит слагаемое с Следовательно, вычет после преобразования остался нулевым, что и требовалось доказать.

Все эти рассмотрения сохраняют силу и тогда, когда является не функцией из поля, а некоторым степенным рядом от который содержит лишь конечное число слагаемых с отрицательными показателями.

Пусть теперь V — некоторый вектор в смысле § 152, т. е. некоторая система степенных рядов для отдельных плейсов Мы можем разложить произведение

относительно каждого плейса в степенной ряд, умноженный на и определить вычет. Если

— -компонента вектора V и

— разложение дифференциала, то вычет равен

Так как вектор V и дифференциал имеют лишь конечное число полюсов, то существует лишь конечное множество отличных от нуля вычетов Поэтому мы можем составить сумму этих вычетов:

Эта сумма представляет собой скалярное произведение вектора V и ковектора

в смысле § 152. Итак, мы получили следующий результат:

Каждый дифференциал однозначно определяет некоторый ковектор К, для которого скалярное произведение равно в точности сумме вычетов произведения

Выясним теперь, как изменится это скалярное произведение, если вектор V заменить на некоторую функцию поля К. Скалярное произведение будет тогда равно сумме вычетов дифференциала

где некоторая функция данного поля. Имеет место следующая.

Теорема о вычетах. Сумма вычетов дифференциала и всегда равна нулю.

В классической теории функций эта теорема немедленно следует из теоремы Коши об интеграле. Общее же доказательство, справедливое для совершенных полей констант, предложил Хассе. Упрощенный вариант доказательства Хассе мы изложим в § 157, следуя Рокетту.

Из теоремы о вычетах следует, что ковектор К, определенный через дифференциал является дифференциалом в смысле А. Вейля.

В частности, также определяет некоторый дифференциал в смысле Вейля; мы сохраним в этом случае обозначение Этот дифференциал отличен от нуля, потому что легко найти вектор У, для которого имеет отличную от нуля сумму вычетов. Достаточно выбрать такой вектор V, чтобы при условии, что имеет относительно плейса порядок компонента была равна а остальные компоненты были равны нулю.

Из того факта, что дифференциал, определенный с помощью отличен от нуля, следует в соответствии с § 154, что все дифференциалы со получаются из этого дифференциала умножением на некоторую функцию и. Другими словами:

Все дифференциалы в смысле Вейля являются классическими дифференциалами и