§ 2. Отображения. Мощности

Если каждому элементу а некоторого множества по какому-нибудь правилу сопоставляется единственный (вообще говоря, новый) объект то это сопоставление называется функцией. Если все объекты принадлежат некоторому множеству то сопоставление а называется также отображением из Элемент называется образом элемента называется прообразом элемента Образ определяется элементом а однозначно, но а не обязательно однозначно определяется элементом Вместо иногда пишут кратко

Отображение множества в множество называется сюръективным или отображением из на если каждый элемент из имеет по крайней мере один прообраз.

Отображение множества в множество называется взаимно однозначным или инъективным, если каждый образ обладает ровно одним прообразом а.

Если отображение множества в множество инъективно и сюръективно, т. е. является взаимно однозначным отображением множества на множество то существует обратное отображение которое каждому элементу множества сопоставляет тот элемент из образом которого является

Говорят, что множества равномощны или имеют одинаковую мощность, если существует взаимно однозначное отображение из на

Пример. Сопоставим каждому числу число тогда получится взаимно однозначное отображение множества всех натуральных чисел на множество всех четных натуральных чисел. Таким образом, множество всех натуральных чисел равномощно с множеством всех четных (натуральных) чисел.

Как показывает приведенный пример, вполне может оказаться, что множество равномощно со своим собственным подмножеством. В последующих параграфах мы увидим, что ничего подобного нельзя встретить, рассматривая «конечные» множества.