§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов

Теорема. В кольце целых чисел каждый идеал является главным.

Доказательство. Пусть а — произвольный идеал в Если то доказывать нечего. Если же в а есть еще элемент то а содержит и элемент —с, а один из этих элементов является положительным числом. Пусть а — наименьшее положительное число в идеале а.

Если произвольное число в идеале и остаток от деления числа на число а, то

Так как принадлежат идеалу, число тоже принадлежит этому идеалу. Так как то обязательно потому что а — наименьшее положительное число идеала. Следовательно, т. е. все числа идеала а являются кратными числа а. Отсюда следует, что следовательно, а — главный идеал.

Точно так же доказывается следующее предложение:

Если поле, то в кольце многочленов каждый идеал является главным.

Действительно, можно вновь взять произвольный идеал а В качестве а выберем многочлен наименьшей степени из содержащихся в а. Так как и в кольце многочленов существует алгоритм деления, произвольный многочлен идеала можно представить в виде

если то степень многочлена меньше, чем степень а. Дальше доказательство проходит аналогично предыдущему.

Целостное кольцо с единицей, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Как было сейчас показано, кольцо целых чисел и кольцо многочленов являются кольцами главных идеалов.

Каждое поле тривиальным образом является кольцом главных идеалов, потому что если а — произвольный ненулевой идеал в поле то вместе с любым элементом он содержит и произведение , т. е. единственный ненулевой идеал поля. (Ср. § 15, задача 7.)

Примененный в обоих приведенных выше доказательствах метод можно обобщить следующим образом. Пусть произвольное целостное кольцо, в котором каждому ненулевому элементу а сопоставлено целое неотрицательное число со следующими свойствами:

1. Для справедливо

2. (Алгоритм деления.) Для любых двух элементов где существует представление

в котором или

В случае полагаем в случае числом служит степень многочлена а. Кольцо с такими свойствами называется евклидовым. Применяя без каких бы то ни было изменений метод, который использовался в случаях колец мы получаем следующую теорему:

В любом евклидовом кольце каждый идеал является главным и все элементы идеала являются кратными порождающего его элемента а.

Если эту теорему применить к единичному идеалу, т. е. ко всему кольцу, то получится, что в кольце есть такой элемент а, что все элементы кольца суть кратные этого элемента а. В частности, сам элемент а представляется в виде

Для отсюда следует:

Мы доказали следующее утверждение:

Евклидово кольцо обязательно содержит единицу. Два ненулевых элемента произвольного кольца главных идеалов порождают идеал который состоит из всех выражений вида и который тоже является главным идеалом, т. е. порождается некоторым элементом Следовательно,

Согласно (2) элемент является общим делителем В силу (1) элемент является наибольшим общим делителем, т. е. все общие делители элементов являются делителями и элемента Итак: в кольце главных идеалов любые два элемента имеют наибольший общий делитель который представляется в виде

Обычно наибольший общий делитель обозначают через Правильнее было бы писать потому что элементами однозначно определяется лишь идеал а не сам элемент Если то элементы называются взаимно простыми.

Приведенное выше доказательство существования НОД не дает средства для вычисления этого объекта. В евклидовых кольцах такое вычисление осуществляется с помощью предложенного Евклидом способа последовательного деления (алгоритма Евклида, по которому евклидовы кольца и получили свое наименование).

Пусть заданы два элемента кольца и пусть В соответствии с алгоритмом деления положим

и продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим при одном из делений нулевой остаток:

Все элементы имеют вид Каждый делитель элемента (в частности, сам ) согласно последнему равенству является делителем элемента а потому, согласно предпоследнему равенству, — делителем элемента и,

наконец, элементов Следовательно, равен НОД элементов

Проведенные до сих пор рассуждения проходят и в случае некоммутативных колец, нужно лишь потребовать существования как левого, так и правого алгоритма деления:

Тогда получится, что каждый левый идеал содержит некоторый элемент а, все левые кратные которого и составляют данный левый идеал; то же верно и для правого идеала, в котором все элементы являются правыми кратными некоторого элемента . Двусторонний же идеал содержит порождающий его элемент а, на который все остальные элементы идеала делятся как слева, так и справа. Если этот вывод применить, в частности, к единичному идеалу, то отсюда сразу получится существование в кольце правой единицы, левой единицы и, значит, просто единицы.

Наконец, как и выше, доказывается существование левого и правого наибольших общих делителей двух элементов

Важнейшим примером некоммутативного евклидова кольца является кольцо многочленов над телом

(см. скан)

Еще один пример евклидова кольца. Комплексные числа обычные целые числа) образуют кольцо целых гауссовых чисел. Если определить «норму» числа равенством

то из определения произведения

легко будет следовать равенство

Норма является обычным целым числом, которое (как сумма двух квадратов) обращается в нуль лишь тогда, когда само а равно нулю, а в остальных случаях положительно. Из (3) следует, что произведение обращается в нуль лишь тогда, когда а или равно нулю. Следовательно, мы имеем дело с целостным кольцом.

Согласно § 13 существует поле частных этого кольца. Если то числа поля частных можно, следовательно, представить в виде целые числа). Эти «дробные числа» составляют «поле гауссовых чисел». Определение нормы и равенство (3) дословно сохраняются и для этого поля.

Чтобы получить алюритм деления в кольце целых гауссовых чисет, поставим перед собой задачу найти для заданных о и (10 число а — норма которого меньше нормы элемента Сначала определим дробное число для которого затем заменим на ближайшие к ним целые числа a и b и положим Тогда

Тем самым найден «алгоритм деления», и мы видим, что кольцо целых гауссовых чисел евклидово

Литература По вопросу о том, существует ли в произвольном кольце главных идеалов алгоритм Евклида или его обобщение, см. Вопрос о существовании алгоритма в тех или иных кольцах алгебраических чисел изучался в работах (см. скан)