Главная > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 86. Основная теорема об абелевых группах

Пусть произвольная абелева группа с конечным числом образующих, записанная аддитивно, т. е. некоторый модуль. Если задана область мультипликаторов для группы то мы предполагаем, что в существует единичный элемент, являющийся одновременно единичным оператором; если же область мультипликаторов не задается, то мы считаем, что таковой служит кольцо целых чисел, которое удовлетворяет указанному условию. В этом параграфе мы записываем операторы слева от элементов модуля.

Пусть сначала циклический -модуль: Множество элементов из аннулирующих составляет левый идеал а кольца : из следует, что и из следует, что для каждого к из Каждому К из соответствует элемент так как

это сопоставление является операторным гомоморфизмом над Отсюда по теореме об изоморфизме следует, что

или произвольный циклический -модуль изоморфен модулю классов вычетов кольца по аннулирующему модуль левому идеалу.

Для случая обычной циклической группы мы получаем отсюда заново следующий результат: группа изоморфна аддитивной группе целых чисел или группе классов вычетов по некоторому целому числу. Если порождающий элемент идеала

а, то является порядком циклической группы а также порядком элемента

Доказанная выше теорема справедлива независимо от специальных предположений о кольце Если же кольцо коммутативно и евклидово, как это будет предполагаться в дальнейшем, то к сказанному можно кое-что добавить. Идеал а является в этом случае главным: Считая, что разложим, если это возможно, а на два взаимно простых множителя:

и построим циклические группы Тогда аннулируется элементом , а элементом Поскольку

группа является суммой Пересечение аннулируется элементами а потому и элементом поэтому и указанная сумма является прямой:

Если в свою очередь разлагаются в произведение взаимно простых сомножителей, то или разлагаются в прямую сумму дальше. В конце концов циклическая группа станет прямой суммой таких циклических групп, которые аннулируются степенями простых чисел. Произведение этих степеней простых чисел равно а. Для групп с таким свойством будем употреблять термин «примарные группы».

Мы переходим теперь к общему случаю, когда является -модулем с конечным числом порождающих следовательно, элементы из имеют вид

Если построить на переменных модуль линейных форм

то каждой линейной форме из сопоставится элемент из Это сопоставление вновь является гомоморфизмом модулей, и из теоремы о гомоморфизме следует, что

где подмодуль, состоящий из тех линейных форм для которых

Мы опять предположим кольцо евклидовым. Согласно § 85 в модулях и можно ввести новые базисы для которых

Элементам и соответствуют (в силу указанного выше гомоморфизма) элементы модуля Все элементы из имеют вид и любой такой элемент равен нулю тогда и только тогда, когда

т. е. тогда, когда

Это означает, что сумма только тогда равна нулю, когда нулевым является каждое ее слагаемое, а слагаемое равно нулю, если его коэффициент делится на при и равен нулю при

Вот другое выражение этого факта:

Группа является прямой суммой циклических групп и аннулирующим идеалом подгруппы служит

Такова основная теорема об абелевых группах с конечным числом порождающих элементов.

В случае обычных абелевых групп числа являются порядками циклических групп а группы имеют бесконечный порядок.

Три дополнения следует сделать к доказанной теореме:

а) о выделении среди обратимых элементов;

б) о дальнейшем разложении циклических групп на примерные;

в) о единственности.

а) Пусть, скажем, обратимый элемент, так Что единичный идеал т. е. Тогда циклическая группа может быть исключена из числа слагаемых в сумме

После выделения обратимых элементов остаются аннулирующие идеалы которые мы расположим в виде убывающего

ряда тогда

б) Группы которые аннулируются идеалом (0), изоморфны аддитивной группе кольца Группы, которые аннулируются идеалами в соответствии с доказанным в начале распадаются на примарные группы. Идеалы, аннулирующие примерные группы, находятся с помощью разложения числа на простые множители. Сумма всех встречающихся в разложении группы подгрупп, относящихся к фиксированному простому числу является группой состоящей из тех элементов группы которые аннулируются достаточно высокой степенью По этой причине группы определены однозначно. Если обозначает сумму групп, для которых то

В результате дальнейшего разложения групп вновь получаются примарные группы, которые определены не совсем однозначно, но, как мы увидим, однозначно с точностью до изоморфизма. В каждой группе имеется однозначно определенный ряд подгрупп где состоит из тех элементов группы которые аннулируются числом Первой группой в этом ряду является сама группа последняя группа состоит из одного лишь нуля.

Группа определена неоднозначно, но однозначно с точностью до изоморфизма:

в) Единственность. Аннулирующие идеалы при условии встречающиеся в разложении в прямую сумму определены однозначно модулем (Иными словами: группы определены однозначно с точностью до изоморфизма.)

Доказательство. Утверждаемая единственность будет доказана, как только мы покажем, что о каждой степени простого числа из кольца однозначно можно установить, во сколько идеалов а; она входит. Действительно, если входит в из указанных идеалов, то в силу свойства делимости последних этими идеалами являются первые идеалов таким образом, о каждой степени оказывается известным не только то, во сколько идеалов она входит, но и в какие именно идеалы. Тем самым о каждом выясняется, какие степени простых чисел в него входят. Идеалы в которые входят неограниченно большие степени, равны нулю, а прочие идеалы однозначно определяются разложением на простые множители.

Если число входит в идеал, аннулирующий циклическую группу то

является циклической группой с аннулирующим идеалом т. е. простой группой. Если же в указанный идеал не входит, По этой причине является прямой суммой стольких простых групп, каково число идеалов делящихся на Таким образом, число равно длине композиционного ряда группы следовательно, определено однозначно.

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru