§ 129. Размерность

Пусть I — общая точка над К некоторого неприводимого многообразия или общий корень соответствующего простого идеала Если степень трансцендентности системы то среди элементов имеется ровно алгебраически независимых, скажем, остальные элементы алгебраически зависят от этих. Можно рассматривать просто как переменные, тогда все являются алгебраическими функциями этих переменных. Степень трансцендентности остается неизменной, если общая точка при некотором изоморфизме поля переходит в другую общую точку таким образом, число зависит только от идеала оно называется размерностью простого идеала и многообразия

Очевидно, что размерность простого идеала о принимает значения от до Единичному идеалу с, у которого вообще нет корней, приписывается размерность —1.

Если общий корень некоторого простого идеала а — произвольный корень того же идеала, то каждому многочлену из можно сопоставить многочлен из Так как из следует, что а отсюда — равенство то отображение однозначно. Так как, очевидно, сумма переходит в сумму и произведение — в произведение, то мы имеем гомоморфизм

Если он является изоморфизмом, то, конечно, является общим корнем идеала и наоборот.

В случае нульмерного идеала все точки алгебраичны над поэтому все рациональные функции от являются целыми рациональными: Следовательно, является полем. Если в этом случае — другой корень данного идеала, то гомоморфизм (1) должен быть изоморфизмом, потому что поле не имеет гомоморфизмов, кроме взаимно однозначных и таких, которые переводят все элементы в нуль. Таким образом, имеет место следующая теорема:

В случае нульмерного простого идеала все корни являются общими, эквивалентными друг другу.

Координаты или являются в этом случае алгебраическими над К. Если ограничиться рассмотрением корней I или в универсальном поле то эти корни окажутся сопряженными над К. Число указанных сопряженных точек с координатами из не превосходит (а когда сепарабельно, в точности равно) степени поля над К. Итак:

Нульмерное неприводимое многообразие состоит из конечного числа сопряженных над К точек.

Если, в частности, поле К алгебраически замкнуто, то существует всего одна точка над К, а соответствующий идеал имеет вид

Теорема. Различные корни -мерного простого идеала имеют степень трансцендентности, не превосходящую и если степень трансцендентности некоторого корня в точности равна то этот корень общий.

Доказательство. Пусть — корень степени трансцендентности рассмотрим гомоморфизм (1). Если алгебраически независимы, то алгебраически независимы и действительно, каждое алгебраическое соотношение между является соотношением и между Отсюда следует, что Если то все алгебраически зависят от Пусть при гомоморфизме (1) некоторый многочлен отличный от нуля, переходит в нуль. В поле элемент можно записать в следующем специальном виде:

Отсюда

Но при гомоморфизме переходит в нуль, так что тоже должно переходить в нуль, т. е.

а это противоречит предположению об алгебраической независимости элементов Следовательно, при гомоморфизме (1) ни один отличный от нуля многочлен не переходит в нуль. Таким образом, при гомоморфизм (1) является изоморфизмом. Отсюда следует утверждение о том, что общий корень.

Каждый корень идеала может рассматриваться как общий корень некоторого идеала Из следует, что

или Тем самым идеал является делителем идеала Обратно, каждый отличный от о простой делитель идеала может быть получен таким способом, потому что каждый идеал о обладает некоторым общим корнем Из сформулированной выше теоремы немедленно получается:

Каждый делитель идеала имеет размерность если то

Под размерностью произвольного многообразия подразумевается наибольшая из размерностей его неприводимых составляющих. Одномерные многообразия называются кривыми, двумерные многообразия — поверхностями, -мерные многообразия — гиперповерхностями.

(см. скан)